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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
L’algorithme comprend deux parties : une premi` ere partie utilise l’analogie avec la
propagation du feu allum´ e sur la fronti` ere de la r´ egion. Le feu se propage le long des
lignes de flot d’un champ de vecteurs. Ceci permet de d´ elimiter approximativement
l’emplacement des points du squelette comme des discontinuit´ es du champ de vecteurs,
mais ne rem´ edie pas aux inconv´ enients ´ enum´ er´ es ci-dessus. La deuxi` eme partie de l’algorithme veut pallier ces inconv´ enients en pr´ eservant la « topologie » du squelette.
4.5.1 Premi` ere partie de l’algorithme
L’id´ ee est de consid´ erer l’analogie avec la propagation du feu allum´ e simultan´ ement
en tout point de ∂R. `
A partir de chaque point de X ∈ ∂R, le feu se propage ` a une vitesse
constante (que l’on va supposer ´ egale `
a 1) vers l’int´ erieur le long de la normale en X
` a ∂R. Si un point X se trouve sur la normale ` a ∂R en un point X 1 ∈ ∂R, le vecteur
vitesse en X est de longueur 1, dans la direction de la normale `
a ∂R en X 1 , pointant
vers l’int´ erieur de R. La donn´ ee de ce vecteur vitesse en chaque point de R nous donne
un champ de vecteurs V (X) sur R (figure 4.15). Mais attention : si on a un point X sur
le squelette de R, il est ` a l’intersection des normales `
a ∂R en au moins deux points X 1
et X 2 . Donc, V (X) n’est pas bien d´ efini aux points de Σ(R), et V (X) est discontinu au
voisinage d’un tel X. C’est cette propri´ et´ e qu’on veut utiliser pour d´ etecter les points
du squelette.
(a) rectangle
(b) ellipse
Fig. 4.15. Le champ de vecteurs V (X) et le squelette en trait pointill´ e gris
Pour cela, il nous faut pouvoir manipuler analytiquement le champ de vecteurs
V (X) : on consid` ere sur R la fonction
d(X) = min
Y ∈∂R
|X − Y |
(4.3)
qui est la distance de X ∈ R ` a la fronti` ere ∂R. C’est la g´ en´ eralisation ` a toute la r´ egion R
de la fonction d introduite sur Σ(R) ` a la d´ efinition 4.4. Cette fonction d´ epend des deux
variables qui sont les coordonn´ ees de X. On va ensuite montrer que V (X) = ∇d(X).
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
L’algorithme comprend deux parties : une premi` ere partie utilise l’analogie avec la
propagation du feu allum´ e sur la fronti` ere de la r´ egion. Le feu se propage le long des
lignes de flot d’un champ de vecteurs. Ceci permet de d´ elimiter approximativement
l’emplacement des points du squelette comme des discontinuit´ es du champ de vecteurs,
mais ne rem´ edie pas aux inconv´ enients ´ enum´ er´ es ci-dessus. La deuxi` eme partie de l’algorithme veut pallier ces inconv´ enients en pr´ eservant la « topologie » du squelette.
4.5.1 Premi` ere partie de l’algorithme
L’id´ ee est de consid´ erer l’analogie avec la propagation du feu allum´ e simultan´ ement
en tout point de ∂R. `
A partir de chaque point de X ∈ ∂R, le feu se propage ` a une vitesse
constante (que l’on va supposer ´ egale `
a 1) vers l’int´ erieur le long de la normale en X
` a ∂R. Si un point X se trouve sur la normale ` a ∂R en un point X 1 ∈ ∂R, le vecteur
vitesse en X est de longueur 1, dans la direction de la normale `
a ∂R en X 1 , pointant
vers l’int´ erieur de R. La donn´ ee de ce vecteur vitesse en chaque point de R nous donne
un champ de vecteurs V (X) sur R (figure 4.15). Mais attention : si on a un point X sur
le squelette de R, il est ` a l’intersection des normales `
a ∂R en au moins deux points X 1
et X 2 . Donc, V (X) n’est pas bien d´ efini aux points de Σ(R), et V (X) est discontinu au
voisinage d’un tel X. C’est cette propri´ et´ e qu’on veut utiliser pour d´ etecter les points
du squelette.
(a) rectangle
(b) ellipse
Fig. 4.15. Le champ de vecteurs V (X) et le squelette en trait pointill´ e gris
Pour cela, il nous faut pouvoir manipuler analytiquement le champ de vecteurs
V (X) : on consid` ere sur R la fonction
d(X) = min
Y ∈∂R
|X − Y |
(4.3)
qui est la distance de X ∈ R ` a la fronti` ere ∂R. C’est la g´ en´ eralisation ` a toute la r´ egion R
de la fonction d introduite sur Σ(R) ` a la d´ efinition 4.4. Cette fonction d´ epend des deux
variables qui sont les coordonn´ ees de X. On va ensuite montrer que V (X) = ∇d(X).