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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
de longueur ´ egale. Comme pour le cas du rectangle, nous devons trouver des boules
ayant au moins deux points de tangence avec la fronti` ere de R. Ces deux points devront
n´ ecessairement appartenir ` a des faces distinctes. Pour toute une famille de ces boules,
elles touchent simultan´ ement aux quatre faces d’aire b × h. Elles sont de rayon
h
2 , et
le segment J = {(x,
h
2 ,
h
2 ) ∈ R
3 ,
h
2 ≤ x ≤ b −
h
2 } sera un sous-ensemble de la partie
lin´ eaire du squelette. Comme pour les disques coll´ es au coin du rectangle, des boules de
rayon inf´ erieur ou ´ egal `
a
h
2 peuvent, dans le cas pr´ esent, toucher ` a trois faces contigu¨ es.
Ainsi, la partie lin´ eaire du squelette du parall´ el´ epip` ede sera constitu´ ee du segment J et
de segments de droite issus des huit sommets. Cette partie lin´ eaire est repr´ esent´ ee ` a la
figure 4.12a.
On peut diminuer continˆ ument le rayon d’une sph` ere touchant quatre faces en
pr´ eservant au moins deux points de tangence. On peut ´ egalement d´ eplacer une sph` ere
coll´ ee aux trois faces d’un sommet vers un autre sommet tout en pr´ eservant deux points
de tangence. Les centres de ces nouvelles sph` eres sont situ´ es maintenant sur des polygones dont les arˆ etes sont des segments du squelette lin´ eaire ou des arˆ etes du parall´ el´ epip` ede initial. Ces polygones sont situ´ es dans les demi-plans bissecteurs des angles
di` edres form´ es par deux faces du parall´ el´ epip` ede. Deux angles de vue du squelette entier
sont pr´ esent´ es sur la ligne inf´ erieure de la figure 4.12. La partie lin´ eaire est situ´ ee `
a
l’intersection des plans o` u se trouve la partie surface.
(a) La partie lin´ eaire du
squelette
(b) Une premi` ere vue du
squelette entier
(c) Une deuxi` eme vue
du squelette entier
Fig. 4.12. Squelette du parall´ el´ epip` ede rectangle (b > h) avec deux faces carr´ ees
Ces exemples sont loin des cas pratiques. Seul un ordinateur peut attaquer le cas
des r´ egions complexes qu’on retrouve en chirurgie. Cependant, comme le squelette est
un concept tr` es important en sciences (voir la section 4.6), il se fait beaucoup de recherche pour trouver de bons algorithmes num´ eriques permettant de le calculer (voir la
section 4.5).
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
de longueur ´ egale. Comme pour le cas du rectangle, nous devons trouver des boules
ayant au moins deux points de tangence avec la fronti` ere de R. Ces deux points devront
n´ ecessairement appartenir ` a des faces distinctes. Pour toute une famille de ces boules,
elles touchent simultan´ ement aux quatre faces d’aire b × h. Elles sont de rayon
h
2 , et
le segment J = {(x,
h
2 ,
h
2 ) ∈ R
3 ,
h
2 ≤ x ≤ b −
h
2 } sera un sous-ensemble de la partie
lin´ eaire du squelette. Comme pour les disques coll´ es au coin du rectangle, des boules de
rayon inf´ erieur ou ´ egal `
a
h
2 peuvent, dans le cas pr´ esent, toucher ` a trois faces contigu¨ es.
Ainsi, la partie lin´ eaire du squelette du parall´ el´ epip` ede sera constitu´ ee du segment J et
de segments de droite issus des huit sommets. Cette partie lin´ eaire est repr´ esent´ ee ` a la
figure 4.12a.
On peut diminuer continˆ ument le rayon d’une sph` ere touchant quatre faces en
pr´ eservant au moins deux points de tangence. On peut ´ egalement d´ eplacer une sph` ere
coll´ ee aux trois faces d’un sommet vers un autre sommet tout en pr´ eservant deux points
de tangence. Les centres de ces nouvelles sph` eres sont situ´ es maintenant sur des polygones dont les arˆ etes sont des segments du squelette lin´ eaire ou des arˆ etes du parall´ el´ epip` ede initial. Ces polygones sont situ´ es dans les demi-plans bissecteurs des angles
di` edres form´ es par deux faces du parall´ el´ epip` ede. Deux angles de vue du squelette entier
sont pr´ esent´ es sur la ligne inf´ erieure de la figure 4.12. La partie lin´ eaire est situ´ ee `
a
l’intersection des plans o` u se trouve la partie surface.
(a) La partie lin´ eaire du
squelette
(b) Une premi` ere vue du
squelette entier
(c) Une deuxi` eme vue
du squelette entier
Fig. 4.12. Squelette du parall´ el´ epip` ede rectangle (b > h) avec deux faces carr´ ees
Ces exemples sont loin des cas pratiques. Seul un ordinateur peut attaquer le cas
des r´ egions complexes qu’on retrouve en chirurgie. Cependant, comme le squelette est
un concept tr` es important en sciences (voir la section 4.6), il se fait beaucoup de recherche pour trouver de bons algorithmes num´ eriques permettant de le calculer (voir la
section 4.5).