4.4 L’algorithme optimal pour la chirurgie
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4.4 L’algorithme optimal pour la chirurgie
Dans cette section, nous d´ ecrivons bri` evement les ´ el´ ements de base d’un algorithme
optimal pour la chirurgie au scalpel gamma. Il fait appel `
a la programmation dynamique
([4] et [5]).
Au d´ epart, il faut se rappeler qu’on n’a pas besoin d’irradier toute la r´ egion, mais
seulement une fraction 1 − de celle-ci (voir (4.1)). Pourquoi cela ? Rappelons-nous
que l’unit´ e de traitement focalise 201 sources radioactives de cobalt 60 dispos´ ees sur
un casque focalisant de mani` ere ` a ce qu’elles s’intersectent sur une sph` ere. Comme ces
sources viennent de toutes les directions, il est clair que les r´ egions situ´ ees au voisinage
des sph` eres irradi´ ees re¸ coivent aussi une bonne dose de radiation. L’exp´ erience montre
qu’on n’a pas besoin que les doses se recouvrent, tant qu’elles sont suffisamment serr´ ees
les unes contre les autres. L’autre chose qu’il faut garder en m´ emoire est qu’on n’a
besoin que d’une solution « raisonnablement optimale ». Enfin, la troisi` eme consid´ eration
pratique est qu’on ne dispose que de quatre rayons pour les doses de radiation.
L’id´ ee de base d’un algorithme de programmation dynamique est qu’on ne programme pas d’un coup toute la strat´ egie, mais qu’on y va ´ etape par ´ etape.
Le principe de base de la strat´ egie Supposons qu’une solution optimale pour une
r´ egion R soit donn´ ee par ∪
N
i=1 B(X
∗
i , r i ). Alors, si I ⊂ {1, . . . , N}, ∪ i/ ∈I B(X
∗
i , r i ) est
forc´ ement une solution optimale pour R \ ∪ i∈I B(X
∗
i , r i ) (voir l’exercice 8).
Si na¨ ıf qu’il paraisse, ce principe est tr` es puissant. Il nous permet d’appliquer un
proc´ ed´ e it´ eratif. Plutˆ ot que de calculer l’ensemble des doses n´ ecessaires pour irradier
une r´ egion R, on en choisit une premi` ere que l’on consid` ere raisonnablement optimale
et qui couvre une boule B(X
∗
1 , r 1 ).
Le choix de la premi` ere dose Une dose d’une solution optimale est une dose centr´ ee
sur le squelette. On se rappellera que les doses des appareils ont quatre rayons possibles
r 1 < r 2 < r 3 < r 4 ; il est donc naturel de travailler avec les r i -squelettes. Raisonnons
pour une r´ egion plane. La dose sera centr´ ee soit en un point extrˆ eme d’un r i -squelette,
soit en un point d’intersection de plusieurs branches du squelette (figure 4.13). (Dans le
cas d’une r´ egion de l’espace, l’´ equivalent d’un point d’intersection de plusieurs branches
du squelette est un point de la partie lin´ eaire du squelette. Il peut mˆ eme exister des
points d’intersection de branches de la partie lin´ eaire du squelette en lesquels une boule
maximale est tangente ` a la fronti` ere en au moins quatre points.) Dans le cas d’une dose
centr´ ee en un point extrˆ eme d’un r i -squelette, on remplit un bout de la r´ egion. Dans le
deuxi` eme cas, on irradie une sph` ere qui touche en au moins trois points `
a la fronti` ere.
Comment choisir ? On a int´ erˆ et ` a utiliser le plus de grosses doses possibles. Mais on
ne dispose pas de tous les rayons possibles. La deuxi` eme option est bonne si on peut
trouver un point d’intersection, X, de branches du squelette pour lequel on a une dose
de rayon ad´ equat : il faut pour cela que le rayon d(X) du disque maximal B(X, d(X))
centr´ e en X soit ` a peu pr` es l’un des r i , i = 1, 2, 3, 4. Alors, un tel disque sera tangent en
trois points ` a la fronti` ere de R. Dans le cas contraire, il vaut mieux choisir de centrer
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4.4 L’algorithme optimal pour la chirurgie
Dans cette section, nous d´ ecrivons bri` evement les ´ el´ ements de base d’un algorithme
optimal pour la chirurgie au scalpel gamma. Il fait appel `
a la programmation dynamique
([4] et [5]).
Au d´ epart, il faut se rappeler qu’on n’a pas besoin d’irradier toute la r´ egion, mais
seulement une fraction 1 − de celle-ci (voir (4.1)). Pourquoi cela ? Rappelons-nous
que l’unit´ e de traitement focalise 201 sources radioactives de cobalt 60 dispos´ ees sur
un casque focalisant de mani` ere ` a ce qu’elles s’intersectent sur une sph` ere. Comme ces
sources viennent de toutes les directions, il est clair que les r´ egions situ´ ees au voisinage
des sph` eres irradi´ ees re¸ coivent aussi une bonne dose de radiation. L’exp´ erience montre
qu’on n’a pas besoin que les doses se recouvrent, tant qu’elles sont suffisamment serr´ ees
les unes contre les autres. L’autre chose qu’il faut garder en m´ emoire est qu’on n’a
besoin que d’une solution « raisonnablement optimale ». Enfin, la troisi` eme consid´ eration
pratique est qu’on ne dispose que de quatre rayons pour les doses de radiation.
L’id´ ee de base d’un algorithme de programmation dynamique est qu’on ne programme pas d’un coup toute la strat´ egie, mais qu’on y va ´ etape par ´ etape.
Le principe de base de la strat´ egie Supposons qu’une solution optimale pour une
r´ egion R soit donn´ ee par ∪
N
i=1 B(X
∗
i , r i ). Alors, si I ⊂ {1, . . . , N}, ∪ i/ ∈I B(X
∗
i , r i ) est
forc´ ement une solution optimale pour R \ ∪ i∈I B(X
∗
i , r i ) (voir l’exercice 8).
Si na¨ ıf qu’il paraisse, ce principe est tr` es puissant. Il nous permet d’appliquer un
proc´ ed´ e it´ eratif. Plutˆ ot que de calculer l’ensemble des doses n´ ecessaires pour irradier
une r´ egion R, on en choisit une premi` ere que l’on consid` ere raisonnablement optimale
et qui couvre une boule B(X
∗
1 , r 1 ).
Le choix de la premi` ere dose Une dose d’une solution optimale est une dose centr´ ee
sur le squelette. On se rappellera que les doses des appareils ont quatre rayons possibles
r 1 < r 2 < r 3 < r 4 ; il est donc naturel de travailler avec les r i -squelettes. Raisonnons
pour une r´ egion plane. La dose sera centr´ ee soit en un point extrˆ eme d’un r i -squelette,
soit en un point d’intersection de plusieurs branches du squelette (figure 4.13). (Dans le
cas d’une r´ egion de l’espace, l’´ equivalent d’un point d’intersection de plusieurs branches
du squelette est un point de la partie lin´ eaire du squelette. Il peut mˆ eme exister des
points d’intersection de branches de la partie lin´ eaire du squelette en lesquels une boule
maximale est tangente ` a la fronti` ere en au moins quatre points.) Dans le cas d’une dose
centr´ ee en un point extrˆ eme d’un r i -squelette, on remplit un bout de la r´ egion. Dans le
deuxi` eme cas, on irradie une sph` ere qui touche en au moins trois points `
a la fronti` ere.
Comment choisir ? On a int´ erˆ et ` a utiliser le plus de grosses doses possibles. Mais on
ne dispose pas de tous les rayons possibles. La deuxi` eme option est bonne si on peut
trouver un point d’intersection, X, de branches du squelette pour lequel on a une dose
de rayon ad´ equat : il faut pour cela que le rayon d(X) du disque maximal B(X, d(X))
centr´ e en X soit ` a peu pr` es l’un des r i , i = 1, 2, 3, 4. Alors, un tel disque sera tangent en
trois points ` a la fronti` ere de R. Dans le cas contraire, il vaut mieux choisir de centrer