4.3 R´ egions tridimensionnelles
135
(a) Le squelette d’un cˆ one plein de
section circulaire est donn´ e par son
axe.
(b) Le squelette d’un angle di` edre est
donn´ e par le demi-plan bissecteur.
Fig. 4.11. Squelettes de deux r´ egions simples. En (a), la r´ egion est l’int´ erieur d’un cˆ one de
section circulaire. (Le cˆ one est plein mˆ eme si seule sa fronti` ere est ici trac´ ee.) L’axe vertical est
son squelette, et une des boules tangentes est repr´ esent´ ee avec son cercle de tangence ` a ∂R.
En (b), la r´ egion R est l’angle di` edre, c’est-` a-dire le sous-ensemble de R
3 compris entre deux
demi-plans infinis ayant la mˆ eme droite commune comme fronti` ere.
Exemple 4.12 (l’angle di` edre) Une autre r´ egion g´ eom´ etrique simple est la r´ egion
limit´ ee par l’angle di` edre d´ etermin´ e par deux demi-plans s´ ecants. Alors, le squelette est
le demi-plan bissecteur. Le squelette n’a, dans ce cas, qu’une partie surface. La figure
4.11b trace les deux demi-plans s´ ecants en blanc ; le squelette est le demi-plan ombrag´ e.
Une boule et ses deux points de tangence sont ´ egalement repr´ esent´ es.
Les deux exemples pr´ ec´ edents ´ etaient intuitivement fort simples. Leur squelette n’est
cependant pas typique, car, en g´ en´ eral, le squelette d’une r´ egion de l’espace poss` ede
une partie lin´ eaire et une partie surface. Dans beaucoup de cas, la partie lin´ eaire du
squelette (ou une partie de celle-ci) est la fronti` ere de la partie surface. Voici donc un
autre exemple plus repr´ esentatif.
Exemple 4.13 (le parall´ el´ epip` ede rectangle avec deux faces carr´ ees)
La r´ egion R est maintenant un parall´ el´ epip` ede R = [0, b] × [0, h] × [0, h] ⊂ R
3 tel que
b > h. Pour simplifier la visualisation, nous avons choisi deux des arˆ etes orthogonales
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(a) Le squelette d’un cˆ one plein de
section circulaire est donn´ e par son
axe.
(b) Le squelette d’un angle di` edre est
donn´ e par le demi-plan bissecteur.
Fig. 4.11. Squelettes de deux r´ egions simples. En (a), la r´ egion est l’int´ erieur d’un cˆ one de
section circulaire. (Le cˆ one est plein mˆ eme si seule sa fronti` ere est ici trac´ ee.) L’axe vertical est
son squelette, et une des boules tangentes est repr´ esent´ ee avec son cercle de tangence ` a ∂R.
En (b), la r´ egion R est l’angle di` edre, c’est-` a-dire le sous-ensemble de R
3 compris entre deux
demi-plans infinis ayant la mˆ eme droite commune comme fronti` ere.
Exemple 4.12 (l’angle di` edre) Une autre r´ egion g´ eom´ etrique simple est la r´ egion
limit´ ee par l’angle di` edre d´ etermin´ e par deux demi-plans s´ ecants. Alors, le squelette est
le demi-plan bissecteur. Le squelette n’a, dans ce cas, qu’une partie surface. La figure
4.11b trace les deux demi-plans s´ ecants en blanc ; le squelette est le demi-plan ombrag´ e.
Une boule et ses deux points de tangence sont ´ egalement repr´ esent´ es.
Les deux exemples pr´ ec´ edents ´ etaient intuitivement fort simples. Leur squelette n’est
cependant pas typique, car, en g´ en´ eral, le squelette d’une r´ egion de l’espace poss` ede
une partie lin´ eaire et une partie surface. Dans beaucoup de cas, la partie lin´ eaire du
squelette (ou une partie de celle-ci) est la fronti` ere de la partie surface. Voici donc un
autre exemple plus repr´ esentatif.
Exemple 4.13 (le parall´ el´ epip` ede rectangle avec deux faces carr´ ees)
La r´ egion R est maintenant un parall´ el´ epip` ede R = [0, b] × [0, h] × [0, h] ⊂ R
3 tel que
b > h. Pour simplifier la visualisation, nous avons choisi deux des arˆ etes orthogonales