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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
Fig. 4.10. Squelette de l’ellipse. Les rayons des cercles inscrits relient le point X du squelette
aux deux points sur la fronti` ere d’o` u originent les feux qui s’´ eteindront en X.
4.3 R´ egions tridimensionnelles
La d´ efinition donn´ ee plus haut s’applique sans changement aux r´ egions tridimensionnelles. On peut cependant distinguer certains points du squelette Σ(R) d’une r´ egion
tridimensionnelle selon le nombre de points de tangence d’une boule maximale avec la
fronti` ere de R.
D´ efinition 4.10 Soient R une r´ egion de l’espace et ∂R sa fronti` ere. La partie « lin´ eaire » du squelette est d´ efinie comme suit :
Σ 1 (R) = {X
∗
∈ R | ∃ X 1 , X 2 , X 3 ∈ ∂R tels que X 1 = X 2 = X 3 = X 1 et tels que
|X
∗
− X 1 | = |X
∗
− X 2 | = |X
∗
− X 3 | = min
X∈∂R
|X
∗
− X|}.
La partie « surface » du squelette de R est
Σ 2 (R) = Σ(R) \ Σ 1 (R).
Exemple 4.11 (le cˆ one de section circulaire) Le cˆ one plein est la r´ egion de l’espace donn´ ee par
{(x, y, z) ∈ R
3
|z > x
2 + y
2
}.
Les boules qui ont deux points de tangence en ont automatiquement une infinit´ e, et
leur centre est sur l’axe du cˆ one. Le squelette est donc l’axe des z positifs, Σ(cˆ one) =
{(0, 0, z), z > 0}, et le squelette du cˆ one ne contient qu’une partie lin´ eaire. Comme nous
le verrons `
a l’instant, ce cas est tr` es particulier. La figure 4.11a repr´ esente la fronti` ere
du cˆ one, son squelette (son axe de sym´ etrie) et une boule tangente.