4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
133
Le vecteur gradient
∇F (x 0 , y 0 ) =
∂F
∂x
,
∂F
∂y
(x 0 , y 0 ) =
2x 0
a 2 ,
2y 0
b 2
est normal `
a l’ellipse en (x 0 , y 0 ). (Rappelez-vous : le gradient d’une fonction `
a plusieurs variables est perpendiculaire aux courbes (ou aux surfaces) de niveau !) La normale `
a l’ellipse en (x 0 , y 0 ) est donc la droite passant par (x 0 , y 0 ) et parall` ele au vecteur ∇F (x 0 , y 0 ) =
2x0
a 2 ,
2y0
b 2
. Pour trouver son ´ equation, on ´ ecrit que le vecteur
(x − x 0 , y − y 0 ) est parall` ele au vecteur
2x0
a 2 ,
2y0
b 2
, ce qui donne
2y 0
b 2 (x − x 0 ) −
2x 0
a 2 (y − y 0 ) = 0.
Pour trouver le point d’intersection de cette droite avec l’axe des x, on pose y = 0. On
obtient
x = x 0 −
b
2
2y 0
2x 0 y 0
a 2 = x 0
1 −
b
2
a 2
= x 0
a
2
− b
2
a 2 .
(On voit qu’on a dˆ u utiliser dans ce calcul le fait que y 0 = 0.) Si x 0 ∈ (−a, a), alors
x ∈
−
a
2 −b
2
a ,
a
2 −b
2
a
. Le squelette est donc le segment
y = 0, x ∈
−
a
2
− b
2
a
,
a
2
− b
2
a
.
Nous avons ajout´ e les deux points extrˆ emes, car il est naturel que le squelette soit un
ensemble ferm´ e. Notons cependant que le disque tangent en chacun de ces deux points
extrˆ emes ne touche l’ellipse qu’en un point (une des extr´ emit´ es du grand axe). Malgr´ e
cette observation, l’inclusion de ces deux points dans Σ(ellipse) est justifi´ ee. L’exercice
16 explique pourquoi (ces points sont des points multiples de tangence).
On aurait pu penser que les extr´ emit´ es du squelette seraient les foyers de l’ellipse.
V´ erifions que ce n’est pas le cas. Pour cela, nous allons recalculer la position des foyers
de l’ellipse. Ceux-ci sont situ´ es aux points (±c, 0). Ils ont la propri´ et´ e que, pour tout
point (x 0 , y 0 ) de l’ellipse, la somme des distances de (x 0 , y 0 ) aux deux foyers (−c, 0) et
(c, 0) est constante. Prenons les point particuliers (a, 0) et (0, b). Pour le premier point
(a, 0), la somme de ses distances aux foyers est
(a + c) + (a − c) = 2a.
Pour le deuxi` eme point (0, b), la somme de ses distances aux foyers est
2
b 2 + c 2 .
On doit donc avoir 2a = 2
√
b 2 + c 2 ce qui donne
c =
a 2 − b 2 .
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Le vecteur gradient
∇F (x 0 , y 0 ) =
∂F
∂x
,
∂F
∂y
(x 0 , y 0 ) =
2x 0
a 2 ,
2y 0
b 2
est normal `
a l’ellipse en (x 0 , y 0 ). (Rappelez-vous : le gradient d’une fonction `
a plusieurs variables est perpendiculaire aux courbes (ou aux surfaces) de niveau !) La normale `
a l’ellipse en (x 0 , y 0 ) est donc la droite passant par (x 0 , y 0 ) et parall` ele au vecteur ∇F (x 0 , y 0 ) =
2x0
a 2 ,
2y0
b 2
. Pour trouver son ´ equation, on ´ ecrit que le vecteur
(x − x 0 , y − y 0 ) est parall` ele au vecteur
2x0
a 2 ,
2y0
b 2
, ce qui donne
2y 0
b 2 (x − x 0 ) −
2x 0
a 2 (y − y 0 ) = 0.
Pour trouver le point d’intersection de cette droite avec l’axe des x, on pose y = 0. On
obtient
x = x 0 −
b
2
2y 0
2x 0 y 0
a 2 = x 0
1 −
b
2
a 2
= x 0
a
2
− b
2
a 2 .
(On voit qu’on a dˆ u utiliser dans ce calcul le fait que y 0 = 0.) Si x 0 ∈ (−a, a), alors
x ∈
−
a
2 −b
2
a ,
a
2 −b
2
a
. Le squelette est donc le segment
y = 0, x ∈
−
a
2
− b
2
a
,
a
2
− b
2
a
.
Nous avons ajout´ e les deux points extrˆ emes, car il est naturel que le squelette soit un
ensemble ferm´ e. Notons cependant que le disque tangent en chacun de ces deux points
extrˆ emes ne touche l’ellipse qu’en un point (une des extr´ emit´ es du grand axe). Malgr´ e
cette observation, l’inclusion de ces deux points dans Σ(ellipse) est justifi´ ee. L’exercice
16 explique pourquoi (ces points sont des points multiples de tangence).
On aurait pu penser que les extr´ emit´ es du squelette seraient les foyers de l’ellipse.
V´ erifions que ce n’est pas le cas. Pour cela, nous allons recalculer la position des foyers
de l’ellipse. Ceux-ci sont situ´ es aux points (±c, 0). Ils ont la propri´ et´ e que, pour tout
point (x 0 , y 0 ) de l’ellipse, la somme des distances de (x 0 , y 0 ) aux deux foyers (−c, 0) et
(c, 0) est constante. Prenons les point particuliers (a, 0) et (0, b). Pour le premier point
(a, 0), la somme de ses distances aux foyers est
(a + c) + (a − c) = 2a.
Pour le deuxi` eme point (0, b), la somme de ses distances aux foyers est
2
b 2 + c 2 .
On doit donc avoir 2a = 2
√
b 2 + c 2 ce qui donne
c =
a 2 − b 2 .