4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
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On a donc d´ emontr´ e la proposition suivante, qui nous donne une d´ efinition ´ equivalente du squelette.
Proposition 4.3 Soient X
∗
∈ R et d = min Y ∈∂R |X
∗
− Y |. Le nombre d est le rayon
maximal pour que B(X
∗ , d) soit inclus(e) dans R. Le point X
∗ est dans le squelette
Σ(R) si et seulement si B(X
∗ , d) ⊂ R et S(X
∗ , d) ∩ ∂R contient au moins deux points.
Il devient clair que, pour un point du squelette, cette distance d = min Y ∈∂R |X
∗
−Y |,
qui d´ epend de X
∗ , est un objet cl´ e, et la d´ efinition suivante lui donne un nom.
D´ efinition 4.4 Soit R une r´ egion du plan (de l’espace). Pour chaque point X du squelette Σ(R) de R, on note d(X) le rayon maximum du disque (de la boule) B(X, d(X))
centr´ e(e) en X et inclus(e) dans R. On sait que
d(X) = min
Y ∈∂R
|X − Y |.
Voici enfin une d´ efinition dont nous verrons l’utilit´ e technologique sous peu.
D´ efinition 4.5 Soit r ≥ 0. Le r-squelette d’une r´ egion, not´ e Σ r (R), est l’ensemble des
points du squelette qui sont situ´ es ` a une distance sup´ erieure ou ´ egale `
a r de la fronti` ere
de la r´ egion :
Σ r (R) = {X ∈ Σ(R)|d(X) ≥ r} ⊂ Σ(R).
On remarque que Σ(R) = Σ 0 (R).
Mˆ eme avec cette reformulation, la d´ efinition de squelette n’est pas facile ` a utiliser
pour trouver en pratique le squelette parce qu’elle suppose de connaˆ ıtre la distance de
chacun des points de l’int´ erieur de R ` a chacun des points de la fronti` ere. Elle peut quand
mˆ eme ˆ etre utilis´ ee pour des r´ egions de forme g´ eom´ etrique simple. Pour cela, les lemmes
suivants seront utiles.
Lemme 4.6 1. On consid` ere une r´ egion angulaire R d´ elimit´ ee par deux demi-droites
issues d’un mˆ eme point O. Alors, le squelette de la r´ egion est la bissectrice de l’angle
form´ e par les deux demi-droites (figure 4.3a).
2. On consid` ere une bande R d´ elimit´ ee par deux droites parall` eles (D 1 ) et (D 2 ) ` a une
distance h l’une de l’autre. Alors, le squelette de la r´ egion est la droite parall` ele
´ equidistante ` a (D 1 ) et (D 2 ) (figure 4.3b).
Preuve Nous ferons seulement la preuve dans le cas d’une r´ egion angulaire. Soit P un
point du squelette. Regardons la figure 4.4. Par hypoth` ese, |P A| = |P B| puisque P est
` a ´ egale distance des deux cˆ ot´ es de l’angle. De plus,
P AO =
P BO =
π
2 . On doit montrer
que
P OA =
P OB. Pour cela, on montrera que les deux triangles P OA et P OB sont
congrus, en montrant qu’ils ont trois cˆ ot´ es ´ egaux. Ce sont deux triangles rectangles. Ils
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On a donc d´ emontr´ e la proposition suivante, qui nous donne une d´ efinition ´ equivalente du squelette.
Proposition 4.3 Soient X
∗
∈ R et d = min Y ∈∂R |X
∗
− Y |. Le nombre d est le rayon
maximal pour que B(X
∗ , d) soit inclus(e) dans R. Le point X
∗ est dans le squelette
Σ(R) si et seulement si B(X
∗ , d) ⊂ R et S(X
∗ , d) ∩ ∂R contient au moins deux points.
Il devient clair que, pour un point du squelette, cette distance d = min Y ∈∂R |X
∗
−Y |,
qui d´ epend de X
∗ , est un objet cl´ e, et la d´ efinition suivante lui donne un nom.
D´ efinition 4.4 Soit R une r´ egion du plan (de l’espace). Pour chaque point X du squelette Σ(R) de R, on note d(X) le rayon maximum du disque (de la boule) B(X, d(X))
centr´ e(e) en X et inclus(e) dans R. On sait que
d(X) = min
Y ∈∂R
|X − Y |.
Voici enfin une d´ efinition dont nous verrons l’utilit´ e technologique sous peu.
D´ efinition 4.5 Soit r ≥ 0. Le r-squelette d’une r´ egion, not´ e Σ r (R), est l’ensemble des
points du squelette qui sont situ´ es ` a une distance sup´ erieure ou ´ egale `
a r de la fronti` ere
de la r´ egion :
Σ r (R) = {X ∈ Σ(R)|d(X) ≥ r} ⊂ Σ(R).
On remarque que Σ(R) = Σ 0 (R).
Mˆ eme avec cette reformulation, la d´ efinition de squelette n’est pas facile ` a utiliser
pour trouver en pratique le squelette parce qu’elle suppose de connaˆ ıtre la distance de
chacun des points de l’int´ erieur de R ` a chacun des points de la fronti` ere. Elle peut quand
mˆ eme ˆ etre utilis´ ee pour des r´ egions de forme g´ eom´ etrique simple. Pour cela, les lemmes
suivants seront utiles.
Lemme 4.6 1. On consid` ere une r´ egion angulaire R d´ elimit´ ee par deux demi-droites
issues d’un mˆ eme point O. Alors, le squelette de la r´ egion est la bissectrice de l’angle
form´ e par les deux demi-droites (figure 4.3a).
2. On consid` ere une bande R d´ elimit´ ee par deux droites parall` eles (D 1 ) et (D 2 ) ` a une
distance h l’une de l’autre. Alors, le squelette de la r´ egion est la droite parall` ele
´ equidistante ` a (D 1 ) et (D 2 ) (figure 4.3b).
Preuve Nous ferons seulement la preuve dans le cas d’une r´ egion angulaire. Soit P un
point du squelette. Regardons la figure 4.4. Par hypoth` ese, |P A| = |P B| puisque P est
` a ´ egale distance des deux cˆ ot´ es de l’angle. De plus,
P AO =
P BO =
π
2 . On doit montrer
que
P OA =
P OB. Pour cela, on montrera que les deux triangles P OA et P OB sont
congrus, en montrant qu’ils ont trois cˆ ot´ es ´ egaux. Ce sont deux triangles rectangles. Ils