126
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
Fig. 4.2. La recherche de la distance entre un point X
∗ et la fronti` ere ∂R
pr´ ecis´ ement min Y ∈∂R |X
∗
− Y |, il faut que l’int´ erieur de S(X
∗ , d) soit inclus dans R.
Pour le voir, choisissons Z, un point quelconque du compl´ ementaire C(R) de R (c’est` a-dire Z ∈ C(R) = R
2
\ R ou Z ∈ C(R) = R
3
\ R) et tra¸ cons le segment joignant X
∗ ` a
Z. Puisque X
∗
∈ R et Z ∈ C(R), le segment doit croiser la fronti` ere ∂R en un certain
point que nous appellerons Y
. Par d´ efinition de la distance entre X
∗ et la fronti` ere,
min
Y ∈∂R
|X
∗
− Y | ≤ |X
∗
− Y
| < |X
∗
− Z|,
le point Z du compl´ ementaire de R est ` a l’ext´ erieur de S(X
∗ , d). Ainsi, aucun point
du compl´ ementaire de R n’est `
a l’int´ erieur de S(X
∗ , d), et l’int´ erieur de S(X
∗ , d) est
constitu´ e de points de R. Si on d´ efinit le disque (ou la boule) de centre X et de rayon
r par
B(X, r) = {Y ∈ R
2 (ou R
3 ) | |X − Y | < r},
alors les ´ el´ ements X
∗ du squelette Σ(R) sont tels que
B(X
∗ , d) ⊂ R.
Mˆ eme si le rayon d est d´ efini ` a l’aide d’un minimum (voir (4.2)), c’est aussi un
maximum ! C’est le rayon maximal que peut avoir un disque (une boule) centr´ e(e) en
X
∗ , B(X
∗ , r), si B(X
∗ , r) ne doit contenir que des points de R. (Tout disque B(X
∗ , r)
tel que r > d contiendra automatiquement un point Z du compl´ ementaire C(R). Pour
le voir, tra¸ cons un segment de X
∗ au point X 1 de la fronti` ere qui est le plus proche
de X
∗1 . Alors |X 1 − X
∗
| = d. Si r > d, alors le segment de longueur r issu de X
∗ et
passant par X 1 traversera la fronti` ere ∂R et contiendra donc un point ext´ erieur.)
1 Le lecteur plus avanc´ e remarquera que des hypoth` eses sont sous-entendues sur R et sa
fronti` ere. En effet, nous supposons que R a une fronti` ere ∂R continˆ ument diff´ erentiable par
morceaux. Les autres lecteurs peuvent s’en remettre ` a leur intuition en toute s´ ecurit´ e !