4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
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Fig. 4.1. Le squelette d’une r´ egion
Ainsi, si les deux points X et Y ∈ R
2 ont comme composantes (x 1 , y 1 ) et (x 2 , y 2 )
respectivement, leur distance est simplement |X − Y | =
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 .
D´ efinition 4.2 Soient R une r´ egion du plan ou de l’espace et ∂R sa fronti` ere. Le
squelette de R, not´ e Σ(R), est l’ensemble de points suivant :
Σ(R) = {X
∗
∈ R | ∃X 1 , X 2 ∈ ∂R tels que X 1 = X 2 et
|X
∗
− X 1 | = |X
∗
− X 2 | = min Y ∈∂R |X
∗
− Y |}.
Cette d´ efinition est quelque peu rebutante. Expliquons-en les ´ el´ ements. La quantit´ e
min Y ∈∂R |X
∗
− Y | donne la distance entre le point X
∗ et la fronti` ere ∂R de R. Contrairement ` a la distance entre deux points, il n’existe pas d’expression alg´ ebrique simple
pour cette distance. Plutˆ ot, celle-ci est exprim´ ee comme le minimum d’une fonction,
f (Y ) = |X
∗
− Y |, vue comme fonction de Y (X
∗ ´ etant constant). On cherche donc le
segment le plus court parmi tous ceux qui joignent X
∗ ` a un point Y de la fronti` ere. La
longueur du segment le plus court est min Y ∈∂R |X
∗
− Y |. Dans le cas d’une r´ egion du
plan, la figure 4.2 trace plusieurs de ces segments pour un X
∗ donn´ e ; le segment le plus
court est repr´ esent´ e par un trait gras.
Supposons que l’on trace un cercle (une sph` ere) de centre X
∗ et de rayon
d = min
Y ∈∂R
|X
∗
− Y |,
(4.2)
que l’on notera
S(X, d) = {Y ∈ R
2 (ou R
3 ) | |X − Y | = d}.
Pour que X
∗ soit dans le squelette Σ(R), la d´ efinition ci-dessus requiert que S(X
∗ , d)
intersecte ∂R en (au moins) deux points X 1 et X 2 . Donc, S(X
∗ , d) et la fronti` ere
∂R doivent avoir au moins deux points en commun. Puisque le rayon de S(X
∗ , d) est