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4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
traitement pour le patient pour qui d’interminables s´ eances de radioth´ erapie sont tr` es
p´ enibles. Le probl` eme est facile pour une tumeur de petite taille qui peut souvent ˆ etre
trait´ ee par une seule dose de radiation, mais devient complexe lorsqu’on a affaire ` a une
tumeur de grand volume et de forme irr´ eguli` ere. Les algorithmes recherch´ es permettent
en g´ en´ eral de planifier un traitement de 1 `
a 15 doses. L’algorithme doit ˆ etre le plus
robuste possible, c’est-` a-dire donner des solutions au moins acceptables, ` a d´ efaut d’ˆ etre
optimales, pour presque toutes les formes de r´ egions.
On voit qu’on peut comparer le probl` eme au probl` eme math´ ematique d’empilement des sph` eres. On doit remplir au maximum une r´ egion R ⊂ R
3 avec des
sph` eres, de mani` ere ` a ce que le volume non couvert soit, en proportion, inf´ erieur ` a
un seuil de tol´ erance : si on utilise des boules (ou sph` eres pleines) B(X i , r i ) ⊂ R,
i = 1, . . . N, de centres respectifs X i et de rayons respectifs r i , la zone irradi´ ee est
P N (R) = ∪
N
i=1 B(X i , r i ). En notant V (S) le volume d’une r´ egion S on demande :
V (R) − V (P N (R))
V (R)
≤ .
(4.1)
Pour obtenir un algorithme optimal, la premi` ere chose est de bien choisir le centre
des sph` eres. En effet, il faut choisir des sph` eres qui « collent » le mieux possible ` a la
surface de la r´ egion. Ce sont a priori des sph` eres qui ont le plus de points de contact
(points de tangence) avec la fronti` ere de la r´ egion. Les centres des sph` eres seront pris
sur le « squelette » de la r´ egion.
4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
Le concept de squelette d’une r´ egion de R
2 ou R
3 est un concept math´ ematique qui est
couramment utilis´ e en analyse de formes et en reconnaissance de formes. Commen¸ cons
par en donner une d´ efinition intuitive.
Supposons que la r´ egion soit form´ ee de mati` ere combustible uniforme et qu’on allume le feu simultan´ ement en tous les points de la fronti` ere (par exemple, une r´ egion
plane gazonn´ ee). Les points du squelette sont les points o` u le feu va s’´ eteindre faute de
combustible (voir, par exemple, la figure 4.1).
Nous reviendrons ` a cette description intuitive du squelette qui doit nous servir
de guide pour d´ evelopper notre intuition. Mais pour l’instant, voici les d´ efinitions
math´ ematiques. Une r´ egion R est un sous-ensemble ouvert du plan ou de l’espace. Une
r´ egion exclut donc sa fronti` ere que nous noterons par ∂R. Les d´ efinitions qui suivent
valent aussi bien pour les r´ egions en deux dimensions qu’en trois dimensions. Parfois, le
mot usuel pour un concept varie selon la dimension ; par exemple, on parle de cercle ou
de disque en deux dimensions et de sph` eres ou de boules en trois dimensions. Lorsque
le vocabulaire varie, nous mettrons le mot pour la description tridimensionnelle entre
parenth` eses.
D´ efinition 4.1 On note par |X −Y | la distance entre deux points du plan ou de l’espace.
4 Squelette et chirurgie aux rayons gamma
traitement pour le patient pour qui d’interminables s´ eances de radioth´ erapie sont tr` es
p´ enibles. Le probl` eme est facile pour une tumeur de petite taille qui peut souvent ˆ etre
trait´ ee par une seule dose de radiation, mais devient complexe lorsqu’on a affaire ` a une
tumeur de grand volume et de forme irr´ eguli` ere. Les algorithmes recherch´ es permettent
en g´ en´ eral de planifier un traitement de 1 `
a 15 doses. L’algorithme doit ˆ etre le plus
robuste possible, c’est-` a-dire donner des solutions au moins acceptables, ` a d´ efaut d’ˆ etre
optimales, pour presque toutes les formes de r´ egions.
On voit qu’on peut comparer le probl` eme au probl` eme math´ ematique d’empilement des sph` eres. On doit remplir au maximum une r´ egion R ⊂ R
3 avec des
sph` eres, de mani` ere ` a ce que le volume non couvert soit, en proportion, inf´ erieur ` a
un seuil de tol´ erance : si on utilise des boules (ou sph` eres pleines) B(X i , r i ) ⊂ R,
i = 1, . . . N, de centres respectifs X i et de rayons respectifs r i , la zone irradi´ ee est
P N (R) = ∪
N
i=1 B(X i , r i ). En notant V (S) le volume d’une r´ egion S on demande :
V (R) − V (P N (R))
V (R)
≤ .
(4.1)
Pour obtenir un algorithme optimal, la premi` ere chose est de bien choisir le centre
des sph` eres. En effet, il faut choisir des sph` eres qui « collent » le mieux possible ` a la
surface de la r´ egion. Ce sont a priori des sph` eres qui ont le plus de points de contact
(points de tangence) avec la fronti` ere de la r´ egion. Les centres des sph` eres seront pris
sur le « squelette » de la r´ egion.
4.2 D´ efinition de squelette. R´ egions bidimensionnelles
Le concept de squelette d’une r´ egion de R
2 ou R
3 est un concept math´ ematique qui est
couramment utilis´ e en analyse de formes et en reconnaissance de formes. Commen¸ cons
par en donner une d´ efinition intuitive.
Supposons que la r´ egion soit form´ ee de mati` ere combustible uniforme et qu’on allume le feu simultan´ ement en tous les points de la fronti` ere (par exemple, une r´ egion
plane gazonn´ ee). Les points du squelette sont les points o` u le feu va s’´ eteindre faute de
combustible (voir, par exemple, la figure 4.1).
Nous reviendrons ` a cette description intuitive du squelette qui doit nous servir
de guide pour d´ evelopper notre intuition. Mais pour l’instant, voici les d´ efinitions
math´ ematiques. Une r´ egion R est un sous-ensemble ouvert du plan ou de l’espace. Une
r´ egion exclut donc sa fronti` ere que nous noterons par ∂R. Les d´ efinitions qui suivent
valent aussi bien pour les r´ egions en deux dimensions qu’en trois dimensions. Parfois, le
mot usuel pour un concept varie selon la dimension ; par exemple, on parle de cercle ou
de disque en deux dimensions et de sph` eres ou de boules en trois dimensions. Lorsque
le vocabulaire varie, nous mettrons le mot pour la description tridimensionnelle entre
parenth` eses.
D´ efinition 4.1 On note par |X −Y | la distance entre deux points du plan ou de l’espace.