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3 Les mouvements d’un robot
11. On se donne le robot suivant (figure 3.9) dans un plan vertical : au bout du
deuxi` eme bras se trouve une pince perpendiculaire au plan de mouvement du
robot et actionn´ ee par une troisi` eme rotation (nous ignorerons cette troisi` eme
rotation). On suppose que les deux bras du robot ont la mˆ eme longueur l.
a) Soit Q l’extr´ emit´ e du deuxi` eme bras du robot. Calculer la position de Q si le
premier bras a effectu´ e une rotation d’angle θ 1 , et le deuxi` eme bras, une rotation
d’angle θ 2 .
Fig. 3.9. Le robot de l’exercice 11
b) Calculer l’angle θ 2 de chacune des deux rotations possibles du deuxi` eme bras
pour que l’extr´ emit´ e du robot soit situ´ ee ` a la distance
l
2 du point d’attache du
robot.
c) Calculer les deux couples d’angles (θ 1 , θ 2 ) possibles pour que l’extr´ emit´ e du
robot soit situ´ ee au point (
l
2 , 0).
d) On suppose maintenant que le robot est mont´ e sur un rail vertical. Choisir
un syst` eme d’axes et, dans ce syst` eme d’axes, calculer la position de Q si on a
translat´ e le robot d’une hauteur h, si le premier bras a effectu´ e une rotation d’angle
θ 1 , et le deuxi` eme bras, une rotation d’angle θ 2 .
12. Dans R
3 , soient R x la rotation autour de l’axe x d’angle π/2, R y , la rotation
autour de l’axe y d’angle π/2, et R z , la rotation autour de l’axe z d’angle π/2.
a) La composition R y ◦ R z est une rotation. Donner son axe et son angle.
b) Montrer que R x = (R y )
−1
◦ R z ◦ R y .
13. Dans un plan, on se donne un robot attach´ e ` a un point fixe et muni de deux bras
de longueur l 1 et l 2 . Le premier bras est attach´ e au point fixe et peut effectuer des
rotations autour de ce point. Le deuxi` eme bras est attach´ e ` a l’extr´ emit´ e du premier
et peut pivoter autour du point d’attache. D´ eterminer l’ensemble des positions
atteignables par l’extr´ emit´ e du deuxi` eme bras suivant les valeurs de l 1 et l 2 .
3 Les mouvements d’un robot
11. On se donne le robot suivant (figure 3.9) dans un plan vertical : au bout du
deuxi` eme bras se trouve une pince perpendiculaire au plan de mouvement du
robot et actionn´ ee par une troisi` eme rotation (nous ignorerons cette troisi` eme
rotation). On suppose que les deux bras du robot ont la mˆ eme longueur l.
a) Soit Q l’extr´ emit´ e du deuxi` eme bras du robot. Calculer la position de Q si le
premier bras a effectu´ e une rotation d’angle θ 1 , et le deuxi` eme bras, une rotation
d’angle θ 2 .
Fig. 3.9. Le robot de l’exercice 11
b) Calculer l’angle θ 2 de chacune des deux rotations possibles du deuxi` eme bras
pour que l’extr´ emit´ e du robot soit situ´ ee ` a la distance
l
2 du point d’attache du
robot.
c) Calculer les deux couples d’angles (θ 1 , θ 2 ) possibles pour que l’extr´ emit´ e du
robot soit situ´ ee au point (
l
2 , 0).
d) On suppose maintenant que le robot est mont´ e sur un rail vertical. Choisir
un syst` eme d’axes et, dans ce syst` eme d’axes, calculer la position de Q si on a
translat´ e le robot d’une hauteur h, si le premier bras a effectu´ e une rotation d’angle
θ 1 , et le deuxi` eme bras, une rotation d’angle θ 2 .
12. Dans R
3 , soient R x la rotation autour de l’axe x d’angle π/2, R y , la rotation
autour de l’axe y d’angle π/2, et R z , la rotation autour de l’axe z d’angle π/2.
a) La composition R y ◦ R z est une rotation. Donner son axe et son angle.
b) Montrer que R x = (R y )
−1
◦ R z ◦ R y .
13. Dans un plan, on se donne un robot attach´ e ` a un point fixe et muni de deux bras
de longueur l 1 et l 2 . Le premier bras est attach´ e au point fixe et peut effectuer des
rotations autour de ce point. Le deuxi` eme bras est attach´ e ` a l’extr´ emit´ e du premier
et peut pivoter autour du point d’attache. D´ eterminer l’ensemble des positions
atteignables par l’extr´ emit´ e du deuxi` eme bras suivant les valeurs de l 1 et l 2 .