3.6 Exercices
115
• montrer que T est uniform´ ement continue. En d´ eduire que T (cv) = cT (v)
pour c ∈ R. En effet, si c = lim n→∞ c n , c n ∈ Q, et si T est continue, alors
T (c) = lim n→∞ T (c n ).
5. Montrer que toute transformation orthogonale dans R
2 de d´ eterminant ´ egal `
a −1
est la sym´ etrie par rapport `
a une droite passant par l’origine.
6. On donne les matrices orthogonales suivantes de d´ eterminant ´ egal `
a 1
A =
⎛
⎝
2/3 −1/3 −2/3
2/3 2/3
1/3
1/3 −2/3 2/3
⎞
⎠ ,
B=
⎛
⎝
1/3
2/3
2/3
−2/3 2/3 −1/3
−2/3 −1/3 2/3
⎞
⎠ .
Pour chacune, donner la direction de l’axe de rotation et calculer l’angle de rotation
(au signe pr` es).
7. Montrer que le produit de deux matrices orthogonales A 1 et A 2 telles que det A 1 =
det A 2 = 1 est encore une matrice orthogonale telle que det A 1 A 2 = 1. En conclure
que la composition de deux rotations dans l’espace est encore une rotation dans
l’espace (mˆ eme si les deux axes de rotation ne sont pas les mˆ emes !).
8.
On se donne une rotation d’angle +π/4 autour de l’axe engendr´ e par v 1 =
(1/3, 2/3, 2/3). En utilisant la base B = {v 1 , v 2 , v 3 } o` u v 1 = (1/3, 2/3, 2/3),
v 2 = (2/3, −2/3, 1/3) et v 3 = (2/3, 1/3, −2/3) pour faire les calculs, donner la
matrice de cette rotation dans la base standard.
9. a) Soient Π un plan passant par l’origine dans R
3 et v un vecteur unitaire perpendiculaire au plan `
a l’origine. La sym´ etrie par rapport `
a Π (aussi appel´ ee r´ eflexion par
rapport `
a Π) est l’op´ eration qui, `
a un vecteur x ∈ R
3 associe R Π (x) = x − 2x, vv.
Montrer que R Π est une transformation orthogonale. Quel est le d´ eterminant de la
matrice associ´ ee ` a R Π ?
b) Montrer que la composition de deux sym´ etries par rapport `
a deux plans passant
par l’origine est une rotation autour d’un axe passant par l’origine. V´ erifier que cet
axe est la droite d’intersection des deux plans.
10. a) Montrer que, si une matrice orthogonale 3 × 3 a un d´ eterminant ´ egal `
a −1,
alors −1 est une valeur propre.
b) Montrer que toute transformation orthogonale dans R
3 dont la matrice a le
d´ eterminant −1 est la composition d’une r´ eflexion par rapport `
a un plan passant
par l’origine avec une rotation autour d’un axe passant par l’origine et perpendiculaire au plan.
c) En conclure qu’une transformation orthogonale dans R
3 de d´ eterminant −1
ne peut repr´ esenter un mouvement d’un solide dans l’espace.
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• montrer que T est uniform´ ement continue. En d´ eduire que T (cv) = cT (v)
pour c ∈ R. En effet, si c = lim n→∞ c n , c n ∈ Q, et si T est continue, alors
T (c) = lim n→∞ T (c n ).
5. Montrer que toute transformation orthogonale dans R
2 de d´ eterminant ´ egal `
a −1
est la sym´ etrie par rapport `
a une droite passant par l’origine.
6. On donne les matrices orthogonales suivantes de d´ eterminant ´ egal `
a 1
A =
⎛
⎝
2/3 −1/3 −2/3
2/3 2/3
1/3
1/3 −2/3 2/3
⎞
⎠ ,
B=
⎛
⎝
1/3
2/3
2/3
−2/3 2/3 −1/3
−2/3 −1/3 2/3
⎞
⎠ .
Pour chacune, donner la direction de l’axe de rotation et calculer l’angle de rotation
(au signe pr` es).
7. Montrer que le produit de deux matrices orthogonales A 1 et A 2 telles que det A 1 =
det A 2 = 1 est encore une matrice orthogonale telle que det A 1 A 2 = 1. En conclure
que la composition de deux rotations dans l’espace est encore une rotation dans
l’espace (mˆ eme si les deux axes de rotation ne sont pas les mˆ emes !).
8.
On se donne une rotation d’angle +π/4 autour de l’axe engendr´ e par v 1 =
(1/3, 2/3, 2/3). En utilisant la base B = {v 1 , v 2 , v 3 } o` u v 1 = (1/3, 2/3, 2/3),
v 2 = (2/3, −2/3, 1/3) et v 3 = (2/3, 1/3, −2/3) pour faire les calculs, donner la
matrice de cette rotation dans la base standard.
9. a) Soient Π un plan passant par l’origine dans R
3 et v un vecteur unitaire perpendiculaire au plan `
a l’origine. La sym´ etrie par rapport `
a Π (aussi appel´ ee r´ eflexion par
rapport `
a Π) est l’op´ eration qui, `
a un vecteur x ∈ R
3 associe R Π (x) = x − 2x, vv.
Montrer que R Π est une transformation orthogonale. Quel est le d´ eterminant de la
matrice associ´ ee ` a R Π ?
b) Montrer que la composition de deux sym´ etries par rapport `
a deux plans passant
par l’origine est une rotation autour d’un axe passant par l’origine. V´ erifier que cet
axe est la droite d’intersection des deux plans.
10. a) Montrer que, si une matrice orthogonale 3 × 3 a un d´ eterminant ´ egal `
a −1,
alors −1 est une valeur propre.
b) Montrer que toute transformation orthogonale dans R
3 dont la matrice a le
d´ eterminant −1 est la composition d’une r´ eflexion par rapport `
a un plan passant
par l’origine avec une rotation autour d’un axe passant par l’origine et perpendiculaire au plan.
c) En conclure qu’une transformation orthogonale dans R
3 de d´ eterminant −1
ne peut repr´ esenter un mouvement d’un solide dans l’espace.