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3 Les mouvements d’un robot
(ii) On peut ajouter des bras de robot suppl´ ementaires et augmenter le nombre de mouvements possibles pour permettre au robot de contourner des obstacles. Quel est
l’effet d’ajouter des morceaux et d’augmenter le nombre de mouvements possibles ?
(iii) Quel est l’effet de changer la longueur des diff´ erents bras ?
(iv) Le probl` eme inverse (difficile !) : ´ etant donn´ e la position finale de la pince du robot,
donner une suite de mouvements amenant la pince ` a cette position. Pour r´ epondre
` a la question, on doit r´ esoudre un syst` eme d’´ equations non lin´ eaires.
(v) `
A vous d’inventer les suivants. . .
3.6 Exercices
1. a) Calculer la matrice de la rotation d’angle θ dans le plan pour la base standard {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)}, en utilisant le fait que les colonnes de A sont les
coordonn´ ees des images des vecteurs e 1 et e 2 .
b) Soit z = x + iy. Faire tourner le vecteur (x, y) d’un angle θ revient ` a faire
l’op´ eration z → e
iθ z. Utiliser cette propri´ et´ e pour calculer la matrice A.
2. Si on compose deux transformations lin´ eaires T 1 et T 2 de matrices respectives A 1
et A 2 , alors la matrice de T 1 ◦ T 2 est A 1 A 2 . On travaille avec n = 2.
a) V´ erifier que la composition d’une rotation d’angle θ 1 avec une rotation d’angle
θ 2 est une rotation d’angle θ 1 + θ 2 .
b) V´ erifier que le d´ eterminant de la matrice d’une rotation est ´ egal `
a 1.
c) V´ erifier que la matrice inverse de la matrice A d’une rotation est la matrice
transpos´ ee A
t de la matrice A.
3. Le triangle repr´ esent´ e ` a la figure 3.2 est un triangle rectangle de cˆ ot´ es 3, 4 et 5.
Au d´ epart, le sommet oppos´ e au cˆ ot´ e de longueur 3 est `
a l’origine ; `
a la fin des
mouvements, il est situ´ e en (7, 5). Donner les coordonn´ ees du sommet oppos´ e au
cˆ ot´ e de longueur 4 si la rotation finale est d’angle
π
7 .
4. Montrer que toute transformation T du plan ou de l’espace pr´ eservant les distances
et les angles et ayant un point fixe est une transformation lin´ eaire. Suggestion :
a) Commencer par montrer que la transformation pr´ eserve la somme de deux
vecteurs, en utilisant le fait que la somme v 1 + v 2 des deux vecteurs v 1 et v 2 est
construite comme la diagonale du parall´ elogramme de cˆ ot´ es v 1 et v 2 .
b) Il faut maintenant montrer que pour tout vecteur v et tout c ∈ R, alors T (cv) =
cT (v). Faire la preuve en plusieurs ´ etapes :
• montrer l’affirmation pour c ∈ N ;
• montrer l’affirmation pour c ∈ Q ;
3 Les mouvements d’un robot
(ii) On peut ajouter des bras de robot suppl´ ementaires et augmenter le nombre de mouvements possibles pour permettre au robot de contourner des obstacles. Quel est
l’effet d’ajouter des morceaux et d’augmenter le nombre de mouvements possibles ?
(iii) Quel est l’effet de changer la longueur des diff´ erents bras ?
(iv) Le probl` eme inverse (difficile !) : ´ etant donn´ e la position finale de la pince du robot,
donner une suite de mouvements amenant la pince ` a cette position. Pour r´ epondre
` a la question, on doit r´ esoudre un syst` eme d’´ equations non lin´ eaires.
(v) `
A vous d’inventer les suivants. . .
3.6 Exercices
1. a) Calculer la matrice de la rotation d’angle θ dans le plan pour la base standard {e 1 = (1, 0), e 2 = (0, 1)}, en utilisant le fait que les colonnes de A sont les
coordonn´ ees des images des vecteurs e 1 et e 2 .
b) Soit z = x + iy. Faire tourner le vecteur (x, y) d’un angle θ revient ` a faire
l’op´ eration z → e
iθ z. Utiliser cette propri´ et´ e pour calculer la matrice A.
2. Si on compose deux transformations lin´ eaires T 1 et T 2 de matrices respectives A 1
et A 2 , alors la matrice de T 1 ◦ T 2 est A 1 A 2 . On travaille avec n = 2.
a) V´ erifier que la composition d’une rotation d’angle θ 1 avec une rotation d’angle
θ 2 est une rotation d’angle θ 1 + θ 2 .
b) V´ erifier que le d´ eterminant de la matrice d’une rotation est ´ egal `
a 1.
c) V´ erifier que la matrice inverse de la matrice A d’une rotation est la matrice
transpos´ ee A
t de la matrice A.
3. Le triangle repr´ esent´ e ` a la figure 3.2 est un triangle rectangle de cˆ ot´ es 3, 4 et 5.
Au d´ epart, le sommet oppos´ e au cˆ ot´ e de longueur 3 est `
a l’origine ; `
a la fin des
mouvements, il est situ´ e en (7, 5). Donner les coordonn´ ees du sommet oppos´ e au
cˆ ot´ e de longueur 4 si la rotation finale est d’angle
π
7 .
4. Montrer que toute transformation T du plan ou de l’espace pr´ eservant les distances
et les angles et ayant un point fixe est une transformation lin´ eaire. Suggestion :
a) Commencer par montrer que la transformation pr´ eserve la somme de deux
vecteurs, en utilisant le fait que la somme v 1 + v 2 des deux vecteurs v 1 et v 2 est
construite comme la diagonale du parall´ elogramme de cˆ ot´ es v 1 et v 2 .
b) Il faut maintenant montrer que pour tout vecteur v et tout c ∈ R, alors T (cv) =
cT (v). Faire la preuve en plusieurs ´ etapes :
• montrer l’affirmation pour c ∈ N ;
• montrer l’affirmation pour c ∈ Q ;