112
3 Les mouvements d’un robot
• Soit l 4 la longueur du troisi` eme bras de robot. Alors
[
− − →
P 4 Q] B4 = [
− −− →
P 4 P 5 ] B4 + [
− − →
P 5 Q] B4
=
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
4
⎛
⎝
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
5 [
− − →
P 6 Q] B6
⎞
⎠
=
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
4
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
4 [
− − →
P 6 Q] B6 .
• Le rep` ere R 3 a la mˆ eme origine que R 4 : P 3 = P 4 . Donc, dans le rep` ere R 3
[
− − →
P 3 Q] B3 = [
− − →
P 4 Q] B3 = M
4
3
⎛
⎝
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
4
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
4 [
− − →
P 6 Q] B6
⎞
⎠
= M
4
3
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
3
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
3 [
− − →
P 6 Q] B6 .
• Soit l 2 la longueur du deuxi` eme bras de robot. Alors
[
− − →
P 2 Q] B2 = [
− −− →
P 2 P 3 ] B2 + [
− − →
P 3 Q] B2
=
⎛
⎝
0
l 2
0
⎞
⎠ + M
4
2
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
2
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
2 [
− − →
P 6 Q] B6 .
• Soit l 1 la longueur du premier bras de robot. Alors
[
− − →
P 1 Q] B1 = [
− −− →
P 1 P 2 ] B1 + [
− − →
P 2 Q] B1
=
⎛
⎝
0
l 1
0
⎞
⎠ + M
2
1
⎛
⎝
0
l 2
0
⎞
⎠ + M
4
1
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
1
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
1 [
− − →
P 6 Q] B6 .
• Finalement, dans le rep` ere fixe sur le mur, comme P 0 = P 1 , on a
[
− − →
P 0 Q] B0 = M
1
0
⎛
⎝
0
l 1
0
⎞
⎠ + M
2
0
⎛
⎝
0
l 2
0
⎞
⎠ + M
4
0
⎛
⎝
0
l 4
0
⎞
⎠ + M
5
0
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
0 [
− − →
P 6 Q] B6 .
(3.7)
En posant l 3 = 0, on peut r´ e´ ecrire (3.7) comme suit :
[
− − →
P 0 Q] B0 =
5
i=1
M
i
0
⎛
⎝
0
l i
0
⎞
⎠ + M
6
0 [
− − →
P 6 Q] B6 .