3.5 Les diff´ erents rep` eres associ´ es ` a un robot
111
(v) Le cinqui` eme mouvement est une rotation T 5 d’angle θ 5 autour de l’axe x 5 de
matrice
A 5 =
⎛
⎝
1
0
0
0 cosθ 5 − sin θ 5
0 sinθ 5
cos θ 5
⎞
⎠ .
(vi) Le sixi` eme mouvement est une rotation T 6 d’angle θ 6 autour de l’axe y 6 de matrice
A 6 =
⎛
⎝
cos θ 6 0 − sin θ 6
0
1
0
sin θ 6 0 cosθ 6
⎞
⎠ .
On veut calculer la position d’un point du robot par rapport aux diff´ erents rep` eres.
Pour cela, on commence par calculer comment sont modifi´ ees les directions quand on
passe d’un rep` ere ` a un autre. Ceci permet de trouver l’« orientation » de la base B i+k
dans la base B i . Les colonnes de la matrice A i donnent les coordonn´ ees des vecteurs de
la base B i+1 dans la base B i . C’est donc la matrice de passage de la base B i+1 ` a la base
B i . Pour cette raison, on la notera M
i+1
i
.
Matrice de changement de base de la base B i+k ` a la base B i On en d´ eduit
qu’elle est donn´ ee par
M
i+k
i
= M
i+1
i
M
i+2
i+1 . . . M
i+k
i+k−1 .
Soit Q un point de l’espace. Pr´ eciser sa position dans le rep` ere R i , c’est se donner le
vecteur
− − →
P i Q dans la base B i , c’est-` a-dire [
− − →
P i Q] Bi . Alors sa position dans le rep` ere R i−1
est donn´ ee par
[
− −−− →
P i−1 Q] Bi−1 = [
− −−− →
P i−1 P i ] Bi−1 + [
− − →
P i Q] Bi−1
= [
− −−− →
P i−1 P i ] Bi−1 + M
i
i−1 [
− − →
P i Q] Bi .
On va utiliser ceci et ´ ecrire chacun des changements pour i = 1, . . . , 6. On en d´ eduira
la position de l’extr´ emit´ e du robot dans l’espace et son orientation dans la base B 0 , sachant qu’on a effectu´ e dans l’ordre six rotations d’angles respectifs θ 1 , . . . , θ 6 . Supposons
que l’on connaisse la position de Q dans le rep` ere R 6 , `
a savoir [
− − →
P 6 Q] B6 .
• Soit l 5 la longueur de la pince. Alors
[
− − →
P 5 Q] B5 = [
− −− →
P 5 P 6 ] B5 + [
− − →
P 6 Q] B5
=
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
5 [
− − →
P 6 Q] B6 .
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(v) Le cinqui` eme mouvement est une rotation T 5 d’angle θ 5 autour de l’axe x 5 de
matrice
A 5 =
⎛
⎝
1
0
0
0 cosθ 5 − sin θ 5
0 sinθ 5
cos θ 5
⎞
⎠ .
(vi) Le sixi` eme mouvement est une rotation T 6 d’angle θ 6 autour de l’axe y 6 de matrice
A 6 =
⎛
⎝
cos θ 6 0 − sin θ 6
0
1
0
sin θ 6 0 cosθ 6
⎞
⎠ .
On veut calculer la position d’un point du robot par rapport aux diff´ erents rep` eres.
Pour cela, on commence par calculer comment sont modifi´ ees les directions quand on
passe d’un rep` ere ` a un autre. Ceci permet de trouver l’« orientation » de la base B i+k
dans la base B i . Les colonnes de la matrice A i donnent les coordonn´ ees des vecteurs de
la base B i+1 dans la base B i . C’est donc la matrice de passage de la base B i+1 ` a la base
B i . Pour cette raison, on la notera M
i+1
i
.
Matrice de changement de base de la base B i+k ` a la base B i On en d´ eduit
qu’elle est donn´ ee par
M
i+k
i
= M
i+1
i
M
i+2
i+1 . . . M
i+k
i+k−1 .
Soit Q un point de l’espace. Pr´ eciser sa position dans le rep` ere R i , c’est se donner le
vecteur
− − →
P i Q dans la base B i , c’est-` a-dire [
− − →
P i Q] Bi . Alors sa position dans le rep` ere R i−1
est donn´ ee par
[
− −−− →
P i−1 Q] Bi−1 = [
− −−− →
P i−1 P i ] Bi−1 + [
− − →
P i Q] Bi−1
= [
− −−− →
P i−1 P i ] Bi−1 + M
i
i−1 [
− − →
P i Q] Bi .
On va utiliser ceci et ´ ecrire chacun des changements pour i = 1, . . . , 6. On en d´ eduira
la position de l’extr´ emit´ e du robot dans l’espace et son orientation dans la base B 0 , sachant qu’on a effectu´ e dans l’ordre six rotations d’angles respectifs θ 1 , . . . , θ 6 . Supposons
que l’on connaisse la position de Q dans le rep` ere R 6 , `
a savoir [
− − →
P 6 Q] B6 .
• Soit l 5 la longueur de la pince. Alors
[
− − →
P 5 Q] B5 = [
− −− →
P 5 P 6 ] B5 + [
− − →
P 6 Q] B5
=
⎛
⎝
0
l 5
0
⎞
⎠ + M
6
5 [
− − →
P 6 Q] B6 .