108
3 Les mouvements d’un robot
Cherchons maintenant la matrice de T ± dans la base standard C. En appliquant le
th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on voit que cette matrice doit ˆ etre donn´ ee par
[T ± ] C = P
−1 [T ± ] B P,
o` u P est la matrice de passage de C ` a B. Alors P
−1 est la matrice de passage de B
` a C. Donc, les colonnes de P
−1 sont les vecteurs de B ´ ecrits dans la base C. Ce sont
pr´ ecis´ ement les vecteurs colonnes donnant les coordonn´ ees de v 1 , v 2 , v 3 dans la base
standard. Comme P
−1 = P
t on a
P
−1 =
⎛
⎜
⎝
1
√
3
−
1
√
2
1
√
6
1
√
3
0
−
2
√
6
1
√
3
1
√
2
1
√
6
⎞
⎟
⎠ ,
P=
⎛
⎜
⎝
1
√
3
1
√
3
1
√
3
−
1
√
2
0
1
√
2
1
√
6
−
2
√
6
1
√
6
⎞
⎟
⎠ .
D’o` u
[T + ] C =
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠ ,
[T − ] C =
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞
⎠ .
On voit bien que la premi` ere transformation T + est la rotation d’angle
2π
3 autour de
l’axe de vecteur directeur v 1 (figure 3.5). Elle fait la permutation des trois sommets du
cube (1, 1, −1) → (−1, 1, 1) → (1, −1, 1). De mˆ eme, on a aussi la permutation des trois
autres sommets (−1, −1, 1) → (1, −1, −1) → (−1, 1, −1), alors que les deux sommets
(1, 1, 1) et (−1, −1, −1) restent fixes dans la rotation.
Remarque [T + ] C est orthogonale et T − = T
−1
+ . Donc, [T − ] C = [T + ]
−1
C = [T + ]
t
C .
3.5 Les diff´ erents rep` eres associ´ es ` a un robot
D´ efinition 3.30 Un rep` ere dans l’espace est la donn´ ee d’un point P de l’espace, appel´ e
origine du rep` ere, et d’une base B = {v 1 , v 2 , v 3 } de R
3 .
Se donner un rep` ere revient `
a se donner trois axes de coordonn´ ees passant par P et
orient´ es suivant les vecteurs de la base. Les unit´ es sur les axes sont choisies de telle sorte
que les vecteurs v i aient pour coordonn´ ees v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0) et v 3 = (0, 0, 1).
Regardons le robot de la figure 3.1 que l’on reproduit `
a la figure 3.6 en position
allong´ ee et ` a la figure 3.8 apr` es quelques rotations. On se donne sept rep` eres R 0 , . . . , R 6 ,
ayant leur origine respective en P 0 , . . . , P 6 . Pour chaque rep` ere, on se donne des axes
x i , y i , z i , i = 0, . . . , 6, d´ etermin´ es par des bases B 0 , . . . , B 6 . Les directions des axes du
rep` ere R i sont celles des vecteurs de la base B i , et les unit´ es de longueur sur les axes
sont d´ etermin´ ees par le fait que les vecteurs de B i ont la longueur 1. Le rep` ere B 0 est
le rep` ere de base. Il est fixe et centr´ e en P 0 = (0, 0, 0). Le rep` ere R i est centr´ e en P i
(figures 3.6, 3.7 et 3.8). Au d´ epart, en position allong´ ee, les rep` eres ont tous leurs axes
3 Les mouvements d’un robot
Cherchons maintenant la matrice de T ± dans la base standard C. En appliquant le
th´ eor` eme pr´ ec´ edent, on voit que cette matrice doit ˆ etre donn´ ee par
[T ± ] C = P
−1 [T ± ] B P,
o` u P est la matrice de passage de C ` a B. Alors P
−1 est la matrice de passage de B
` a C. Donc, les colonnes de P
−1 sont les vecteurs de B ´ ecrits dans la base C. Ce sont
pr´ ecis´ ement les vecteurs colonnes donnant les coordonn´ ees de v 1 , v 2 , v 3 dans la base
standard. Comme P
−1 = P
t on a
P
−1 =
⎛
⎜
⎝
1
√
3
−
1
√
2
1
√
6
1
√
3
0
−
2
√
6
1
√
3
1
√
2
1
√
6
⎞
⎟
⎠ ,
P=
⎛
⎜
⎝
1
√
3
1
√
3
1
√
3
−
1
√
2
0
1
√
2
1
√
6
−
2
√
6
1
√
6
⎞
⎟
⎠ .
D’o` u
[T + ] C =
⎛
⎝
0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞
⎠ ,
[T − ] C =
⎛
⎝
0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞
⎠ .
On voit bien que la premi` ere transformation T + est la rotation d’angle
2π
3 autour de
l’axe de vecteur directeur v 1 (figure 3.5). Elle fait la permutation des trois sommets du
cube (1, 1, −1) → (−1, 1, 1) → (1, −1, 1). De mˆ eme, on a aussi la permutation des trois
autres sommets (−1, −1, 1) → (1, −1, −1) → (−1, 1, −1), alors que les deux sommets
(1, 1, 1) et (−1, −1, −1) restent fixes dans la rotation.
Remarque [T + ] C est orthogonale et T − = T
−1
+ . Donc, [T − ] C = [T + ]
−1
C = [T + ]
t
C .
3.5 Les diff´ erents rep` eres associ´ es ` a un robot
D´ efinition 3.30 Un rep` ere dans l’espace est la donn´ ee d’un point P de l’espace, appel´ e
origine du rep` ere, et d’une base B = {v 1 , v 2 , v 3 } de R
3 .
Se donner un rep` ere revient `
a se donner trois axes de coordonn´ ees passant par P et
orient´ es suivant les vecteurs de la base. Les unit´ es sur les axes sont choisies de telle sorte
que les vecteurs v i aient pour coordonn´ ees v 1 = (1, 0, 0), v 2 = (0, 1, 0) et v 3 = (0, 0, 1).
Regardons le robot de la figure 3.1 que l’on reproduit `
a la figure 3.6 en position
allong´ ee et ` a la figure 3.8 apr` es quelques rotations. On se donne sept rep` eres R 0 , . . . , R 6 ,
ayant leur origine respective en P 0 , . . . , P 6 . Pour chaque rep` ere, on se donne des axes
x i , y i , z i , i = 0, . . . , 6, d´ etermin´ es par des bases B 0 , . . . , B 6 . Les directions des axes du
rep` ere R i sont celles des vecteurs de la base B i , et les unit´ es de longueur sur les axes
sont d´ etermin´ ees par le fait que les vecteurs de B i ont la longueur 1. Le rep` ere B 0 est
le rep` ere de base. Il est fixe et centr´ e en P 0 = (0, 0, 0). Le rep` ere R i est centr´ e en P i
(figures 3.6, 3.7 et 3.8). Au d´ epart, en position allong´ ee, les rep` eres ont tous leurs axes