3.4 Les changements de base
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Fig. 3.5. Le cube de l’exemple 3.29
Pour cela, on commence par choisir une base B bien adapt´ ee au probl` eme. La direction du premier vecteur sera donn´ ee par la direction de la droite, soit la direction du
vecteur w 1 = (2, 2, 2). Pour les deux autres vecteurs de la base, w 2 et w 3 , nous prendrons deux vecteurs orthogonaux `
a w 1 . Leurs coordonn´ ees (x, y, z) satisferont donc ` a
x + y + z = 0. Un premier vecteur est donn´ e par exemple par w 2 = (−1, 0, 1). On voudrait bien que le troisi` eme vecteur w 3 soit aussi perpendiculaire ` a w 2 . Ses coordonn´ ees
doivent satisfaire `
a
x + y + z = 0
x − z = 0,
et une solution est donc donn´ ee par w 3 = (1, −2, 1). Maintenant, on travaille avec des
bases orthonormales. Donc, on divise chacun des vecteurs par sa longueur : v i =
wi
||wi|| .
La base cherch´ ee est
B = {v 1 , v 2 , v 2 } =
1
√
3
,
1
√
3
,
1
√
3
,
−
1
√
2
, 0,
1
√
2
,
1
√
6
, −
2
√
6
,
1
√
6
.
Dans cette base, les deux transformations sont des rotations d’axe de rotation donn´ e
par le premier vecteur de la base et d’angle ±
2π
3 . Remarquons que cos(−
2π
3 ) = cos
2π
3 =
−
1
2 et sin(−
2π
3 ) = − sin
2π
3 = −
√
3
2 . Les deux rotations, qui sont des transformations
lin´ eaires T ± , ont donc comme matrice dans la base B
[T ± ] B =
⎛
⎝
1
0
0
0 cos
2π
3
∓ sin
2π
3
0 ± sin
2π
3
cos
2π
3
⎞
⎠ =
⎛
⎜
⎝
1
0
0
0 −
1
2
∓
√
3
2
0 ±
√
3
2
−
1
2
⎞
⎟
⎠ .