106
3 Les mouvements d’un robot
Rappel sur les changements de base et les matrices de changement de base
1. Si on a deux bases B 1 et B 2 de l’espace, alors
[v] B2 = P [v] B1 ,
o` u P est la matrice de changement de base de B 1 ` a B 2 . La matrice P est aussi
appel´ ee matrice de passage de B 1 ` a B 2 .
2. Les colonnes de la matrice P sont les coordonn´ ees des vecteurs de B 1 ´ ecrits dans
la base B 2 . Dans le cas particulier o` u les deux bases sont orthonormales (c’est-` adire que les vecteurs sont perpendiculaires et de longueur 1), alors la matrice P est
orthogonale.
3. Si Q est la matrice de changement de base de B 2 ` a B 1 , alors Q = P
−1 . Les colonnes
de la matrice Q sont les coordonn´ ees des vecteurs de B 2 ´ ecrits dans la base B 1 .
Dans le cas particulier o` u les deux bases sont orthonormales, alors Q = P
t , donc les
colonnes de Q sont les lignes de P .
Th´ eor` eme 3.28 Soit T une transformation lin´ eaire et soient B 1 et B 2 deux bases de
l’espace. Soit P la matrice de changement de base de B 1 ` a B 2 . Alors
[T ] B2 = P [T ] B1 P
−1 .
Preuve Soit v un vecteur. Alors, on a d’une part
[T (v)] B2 = [T ] B2 [v] B2 .
D’autre part,
[T (v)] B2 = P [T (v)] B1
= P ([T ] B1 [v] B1 )
= P [T ] B1 (P
−1 [v] B2 )
= (P [T ] B1 P
−1 )[v] B2 ,
d’o` u le r´ esultat, puisque la matrice d’une transformation lin´ eaire dans une base est
unique.
Jouer avec plusieurs bases permet de r´ esoudre des probl` emes difficiles. Nous avons vu
comment la diagonalisation nous permettait de comprendre la structure d’une transformation lin´ eaire. Nous pouvons aussi r´ esoudre le probl` eme inverse et reconstruire la
matrice d’une transformation dont nous connaissons les propri´ et´ es. Illustrons-le sur un
exemple.
Exemple 3.29 On se donne le cube dont les huit sommets sont situ´ es aux points
(±1, ±1, ±1) (figure 3.5). On cherche les matrices des deux rotations d’angle ±
2π
3 dont
l’axe est la droite joignant les sommets (−1, −1, −1) et (1, 1, 1) : remarquons que ces
deux rotations envoient le cube sur le cube.
3 Les mouvements d’un robot
Rappel sur les changements de base et les matrices de changement de base
1. Si on a deux bases B 1 et B 2 de l’espace, alors
[v] B2 = P [v] B1 ,
o` u P est la matrice de changement de base de B 1 ` a B 2 . La matrice P est aussi
appel´ ee matrice de passage de B 1 ` a B 2 .
2. Les colonnes de la matrice P sont les coordonn´ ees des vecteurs de B 1 ´ ecrits dans
la base B 2 . Dans le cas particulier o` u les deux bases sont orthonormales (c’est-` adire que les vecteurs sont perpendiculaires et de longueur 1), alors la matrice P est
orthogonale.
3. Si Q est la matrice de changement de base de B 2 ` a B 1 , alors Q = P
−1 . Les colonnes
de la matrice Q sont les coordonn´ ees des vecteurs de B 2 ´ ecrits dans la base B 1 .
Dans le cas particulier o` u les deux bases sont orthonormales, alors Q = P
t , donc les
colonnes de Q sont les lignes de P .
Th´ eor` eme 3.28 Soit T une transformation lin´ eaire et soient B 1 et B 2 deux bases de
l’espace. Soit P la matrice de changement de base de B 1 ` a B 2 . Alors
[T ] B2 = P [T ] B1 P
−1 .
Preuve Soit v un vecteur. Alors, on a d’une part
[T (v)] B2 = [T ] B2 [v] B2 .
D’autre part,
[T (v)] B2 = P [T (v)] B1
= P ([T ] B1 [v] B1 )
= P [T ] B1 (P
−1 [v] B2 )
= (P [T ] B1 P
−1 )[v] B2 ,
d’o` u le r´ esultat, puisque la matrice d’une transformation lin´ eaire dans une base est
unique.
Jouer avec plusieurs bases permet de r´ esoudre des probl` emes difficiles. Nous avons vu
comment la diagonalisation nous permettait de comprendre la structure d’une transformation lin´ eaire. Nous pouvons aussi r´ esoudre le probl` eme inverse et reconstruire la
matrice d’une transformation dont nous connaissons les propri´ et´ es. Illustrons-le sur un
exemple.
Exemple 3.29 On se donne le cube dont les huit sommets sont situ´ es aux points
(±1, ±1, ±1) (figure 3.5). On cherche les matrices des deux rotations d’angle ±
2π
3 dont
l’axe est la droite joignant les sommets (−1, −1, −1) et (1, 1, 1) : remarquons que ces
deux rotations envoient le cube sur le cube.