3.4 Les changements de base
105
On a maintenant tous les ´ el´ ements pour d´ efinir et d´ ecrire les mouvements d’un solide
dans l’espace.
D´ efinition 3.26 Une transformation F est un mouvement d’un solide dans l’espace si
F pr´ eserve les distances et les angles, et si, pour chaque ensemble de vecteurs de mˆ eme
origine P formant un rep` ere orthonorm´ e {v 1 , v 2 , v 3 } de R
3 tel que v 3 = v 1 ∧ v 2 , alors
{F (v 1 ), F (v 2 ), F (v 3 )} est un rep` ere orthonorm´ e de R
3 avec origine en F (P ) et tel que
F (v 3 ) = F (v 1 ) ∧ F (v 2 ).
La condition additionnelle que F envoie v 1 ∧ v 2 sur F (v 1 ) ∧ F (v 2 ) est ´ equivalente `
a
dire que F pr´ eserve l’orientation.
Th´ eor` eme 3.27 Tout mouvement d’un solide dans l’espace est la composition d’une
translation avec une rotation autour d’un axe.
Preuve Soit F une transformation de l’espace qui est un mouvement du solide. Elle
pr´ eserve les distances et les angles. On consid` ere un point du solide. Soient P 0 =
(x 0 , y 0 , z 0 ) sa position initiale et P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) sa position finale. Soit v =
− −− →
P 0 P 1 et soit
G la translation par v. Posons T = F ◦ G
−1 . Alors, T (P 1 ) = F (P 1 − v) = F (P 0 ) = P 1 .
Donc, P 1 est un point fixe de T . Comme T pr´ eserve les distances et les angles et qu’elle
a un point fixe, c’est une transformation orthogonale de matrice A (voir l’exercice 4
pour le fait que la transformation est lin´ eaire). De plus, on a vu que si det A = −1, alors
A ne peut ˆ etre une transformation du solide (voir aussi l’exercice 10). Donc, det A = 1,
et T est une rotation.
3.4 Les changements de base
Rappel sur la matrice d’une transformation lin´ eaire dans une base B On
consid` ere une transformation lin´ eaire T : R
n
→ R
n . On ne s’int´ eressera qu’aux cas
n = 2 ou n = 3. Soit B une base de l’espace. On repr´ esente un vecteur v ` a l’aide de ses
coordonn´ ees dans la base B par une matrice colonne [v] B = (
x
y ) si n = 2 et [v] B =
x
y
z
si n = 3. Limitons-nous maintenant au cas n = 3. Si B = {v 1 , v 2 , v 3 }, alors l’´ ecriture
[v] B =
x
y
z
signifie v = xv 1 + yv 2 + zv 3 . Soit A la matrice de la transformation T dans
la base B. On ´ ecrira A = [T ] B . Les coordonn´ ees de T (v) dans la base B sont donn´ ees
par le produit matriciel
[T (v)] B = A[v] B = [T ] B [v] B .
Comme dans le cas de la base standard, les colonnes de A sont donn´ ees par les coordonn´ ees dans la base B des images par T des vecteurs de B.
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On a maintenant tous les ´ el´ ements pour d´ efinir et d´ ecrire les mouvements d’un solide
dans l’espace.
D´ efinition 3.26 Une transformation F est un mouvement d’un solide dans l’espace si
F pr´ eserve les distances et les angles, et si, pour chaque ensemble de vecteurs de mˆ eme
origine P formant un rep` ere orthonorm´ e {v 1 , v 2 , v 3 } de R
3 tel que v 3 = v 1 ∧ v 2 , alors
{F (v 1 ), F (v 2 ), F (v 3 )} est un rep` ere orthonorm´ e de R
3 avec origine en F (P ) et tel que
F (v 3 ) = F (v 1 ) ∧ F (v 2 ).
La condition additionnelle que F envoie v 1 ∧ v 2 sur F (v 1 ) ∧ F (v 2 ) est ´ equivalente `
a
dire que F pr´ eserve l’orientation.
Th´ eor` eme 3.27 Tout mouvement d’un solide dans l’espace est la composition d’une
translation avec une rotation autour d’un axe.
Preuve Soit F une transformation de l’espace qui est un mouvement du solide. Elle
pr´ eserve les distances et les angles. On consid` ere un point du solide. Soient P 0 =
(x 0 , y 0 , z 0 ) sa position initiale et P 1 = (x 1 , y 1 , z 1 ) sa position finale. Soit v =
− −− →
P 0 P 1 et soit
G la translation par v. Posons T = F ◦ G
−1 . Alors, T (P 1 ) = F (P 1 − v) = F (P 0 ) = P 1 .
Donc, P 1 est un point fixe de T . Comme T pr´ eserve les distances et les angles et qu’elle
a un point fixe, c’est une transformation orthogonale de matrice A (voir l’exercice 4
pour le fait que la transformation est lin´ eaire). De plus, on a vu que si det A = −1, alors
A ne peut ˆ etre une transformation du solide (voir aussi l’exercice 10). Donc, det A = 1,
et T est une rotation.
3.4 Les changements de base
Rappel sur la matrice d’une transformation lin´ eaire dans une base B On
consid` ere une transformation lin´ eaire T : R
n
→ R
n . On ne s’int´ eressera qu’aux cas
n = 2 ou n = 3. Soit B une base de l’espace. On repr´ esente un vecteur v ` a l’aide de ses
coordonn´ ees dans la base B par une matrice colonne [v] B = (
x
y ) si n = 2 et [v] B =
x
y
z
si n = 3. Limitons-nous maintenant au cas n = 3. Si B = {v 1 , v 2 , v 3 }, alors l’´ ecriture
[v] B =
x
y
z
signifie v = xv 1 + yv 2 + zv 3 . Soit A la matrice de la transformation T dans
la base B. On ´ ecrira A = [T ] B . Les coordonn´ ees de T (v) dans la base B sont donn´ ees
par le produit matriciel
[T (v)] B = A[v] B = [T ] B [v] B .
Comme dans le cas de la base standard, les colonnes de A sont donn´ ees par les coordonn´ ees dans la base B des images par T des vecteurs de B.