104
3 Les mouvements d’un robot
D´ efinition 3.22 Soit A = (a ij ) une matrice n × n. Alors, la trace de la matrice A est
la somme des ´ el´ ements sur la diagonale :
tr(A) = a 11 + · · · + a nn .
Nous ´ enon¸ cons sans preuve la propri´ et´ e suivante de la trace d’une matrice.
Th´ eor` eme 3.23 La trace d’une matrice est la somme de ses valeurs propres.
Proposition 3.24 Soit T : R
3
→ R
3 une rotation de matrice A. Alors, l’angle θ de la
rotation est tel que
cos θ =
tr(A) − 1
2
.
(3.6)
Preuve Regardons la preuve du th´ eor` eme 3.20. En calculant le polynˆ ome caract´ eristique de [T ] B , on voit que les valeurs propres de T sont 1 et cos θ ± i sin θ. Donc, la somme
des valeurs propres est 1 + 2 cos θ. D’apr` es le th´ eor` eme 3.23, cette somme est ´ egale `
a
tr(A).
Analyse d’une transformation orthogonale dans R
3
Le th´ eor` eme 3.20 et la
proposition 3.24 nous sugg` erent une strat´ egie.
• On commence par calculer det A. Si det A = 1, alors 1 est une des valeurs propres
et la transformation est une rotation. Si det A = −1, alors −1 est une valeur
propre (voir l’exercice 10). Nous allons nous limiter au cas det A = 1 et laisser le
cas det A = −1 pour l’exercice 10.
• Pour d´ eterminer l’axe de la rotation, on cherche un vecteur propre unitaire v 1 de
la valeur propre 1.
• On calcule l’angle de la rotation par la formule (3.6). On a deux solutions possibles,
car cos θ = cos(−θ). On ne peut trancher sans faire un test. Pour cela on choisit
un vecteur unitaire w orthogonal `
a v 1 et on calcule T (w). On calcule le produit
vectoriel de w et T (w) (voir la d´ efinition 3.25 ci-dessous). C’est un multiple Cv 1
de v 1 tel que |C| = | sin θ|. L’angle θ est celui pour lequel C = sin θ.
D´ efinition 3.25 Le produit vectoriel de deux vecteurs v = (x 1 , y 1 , z 1 ) et w = (x 2 , y 2 , z 2 )
est le vecteur v ∧ w de coordonn´ ees
v ∧ w =
y 1 z 1
y 2 z 2
, −
x 1 z 1
x 2 z 2
,
x 1 y 1
x 2 y 2
.
Remarque L’angle de la rotation est d´ etermin´ e par la r` egle de la main droite : avec
la main droite positionn´ ee pour que le pouce pointe dans la direction de v 1 , on am` ene
w sur T (w) : l’angle θ de la rotation est l’angle dont on a tourn´ e. Il d´ epend donc de la
direction qu’on a choisie pour l’axe de rotation. En particulier, la rotation d’axe port´ e
par v 1 et d’angle θ co¨ ıncide avec la rotation d’axe port´ e par −v 1 et d’angle −θ.
3 Les mouvements d’un robot
D´ efinition 3.22 Soit A = (a ij ) une matrice n × n. Alors, la trace de la matrice A est
la somme des ´ el´ ements sur la diagonale :
tr(A) = a 11 + · · · + a nn .
Nous ´ enon¸ cons sans preuve la propri´ et´ e suivante de la trace d’une matrice.
Th´ eor` eme 3.23 La trace d’une matrice est la somme de ses valeurs propres.
Proposition 3.24 Soit T : R
3
→ R
3 une rotation de matrice A. Alors, l’angle θ de la
rotation est tel que
cos θ =
tr(A) − 1
2
.
(3.6)
Preuve Regardons la preuve du th´ eor` eme 3.20. En calculant le polynˆ ome caract´ eristique de [T ] B , on voit que les valeurs propres de T sont 1 et cos θ ± i sin θ. Donc, la somme
des valeurs propres est 1 + 2 cos θ. D’apr` es le th´ eor` eme 3.23, cette somme est ´ egale `
a
tr(A).
Analyse d’une transformation orthogonale dans R
3
Le th´ eor` eme 3.20 et la
proposition 3.24 nous sugg` erent une strat´ egie.
• On commence par calculer det A. Si det A = 1, alors 1 est une des valeurs propres
et la transformation est une rotation. Si det A = −1, alors −1 est une valeur
propre (voir l’exercice 10). Nous allons nous limiter au cas det A = 1 et laisser le
cas det A = −1 pour l’exercice 10.
• Pour d´ eterminer l’axe de la rotation, on cherche un vecteur propre unitaire v 1 de
la valeur propre 1.
• On calcule l’angle de la rotation par la formule (3.6). On a deux solutions possibles,
car cos θ = cos(−θ). On ne peut trancher sans faire un test. Pour cela on choisit
un vecteur unitaire w orthogonal `
a v 1 et on calcule T (w). On calcule le produit
vectoriel de w et T (w) (voir la d´ efinition 3.25 ci-dessous). C’est un multiple Cv 1
de v 1 tel que |C| = | sin θ|. L’angle θ est celui pour lequel C = sin θ.
D´ efinition 3.25 Le produit vectoriel de deux vecteurs v = (x 1 , y 1 , z 1 ) et w = (x 2 , y 2 , z 2 )
est le vecteur v ∧ w de coordonn´ ees
v ∧ w =
y 1 z 1
y 2 z 2
, −
x 1 z 1
x 2 z 2
,
x 1 y 1
x 2 y 2
.
Remarque L’angle de la rotation est d´ etermin´ e par la r` egle de la main droite : avec
la main droite positionn´ ee pour que le pouce pointe dans la direction de v 1 , on am` ene
w sur T (w) : l’angle θ de la rotation est l’angle dont on a tourn´ e. Il d´ epend donc de la
direction qu’on a choisie pour l’axe de rotation. En particulier, la rotation d’axe port´ e
par v 1 et d’angle θ co¨ ıncide avec la rotation d’axe port´ e par −v 1 et d’angle −θ.