3.3 Propri´ et´ es des matrices orthogonales
103
E est un sous-espace de dimension 2. Consid´ erons la transformation orthogonale T
de matrice A. Comme T pr´ eserve le produit scalaire et T (v 1 ) = v 1 , si w ∈ E, alors
T (w) ∈ E, car
T (w), T (v 1 ) = T (w), v 1 = w, v 1 = 0.
Consid´ erons la restriction T E de T ` a E. Soit B
= {v 2 , v 3 } une base orthonormale de E.
Regardons la matrice B de T E dans la base B
. Si
B =
b 22 b 23
b 32 b 33
ceci signifie
T (v 2 ) = b 22 v 2 + b 32 v 3
T (v 3 ) = b 23 v 2 + b 33 v 3 .
Comme T E pr´ eserve le produit scalaire, B doit ˆ etre une matrice orthogonale. Regardons maintenant la matrice [T ] B de T dans la base B = {v 1 , v 2 , v 3 } (qui est une base
orthonormale de R
3 ) :
[T ] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0
B
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Le d´ eterminant de cette matrice est ´ egal `
a det B. (Rappelons que le d´ eterminant de
la matrice d’une transformation lin´ eaire ne change pas si on change de base.) Donc,
det B = det A = 1. D’apr` es la proposition 3.17, la matrice B est la matrice d’une
rotation. D’o` u
[T ] B =
⎛
⎝
1
0
0
0 cosθ − sin θ
0 sinθ
cos θ
⎞
⎠ .
Regardons cette matrice : elle nous dit que tous les vecteurs de l’axe port´ e par v 1 sont
envoy´ es sur eux-mˆ emes par T , et que tous les vecteurs dans le plan E subissent une
rotation d’angle θ. Si maintenant on d´ ecompose un vecteur v en v = Cv 1 + w avec
w ∈ E, alors T (v) = Cv 1 + T E (w), o` u T E est la rotation d’angle θ dans le plan E. C’est
bien l’action d’une rotation d’angle θ autour de l’axe port´ e par v 1 .
Corollaire 3.21 Si A est une matrice orthogonale 3 × 3 telle que det A = 1 et toutes
les valeurs propres de A sont r´ eelles, alors, soit A est la matrice identit´ e, soit A a les
trois valeurs propres 1, −1, −1. Dans ce dernier cas, A est la matrice d’une sym´ etrie
par rapport `
a la droite qui a la direction d’un vecteur propre de +1. (On peut aussi
visualiser cette transformation comme une rotation d’angle π autour de l’axe qui a la
direction d’un vecteur propre de +1.)
Le th´ eor` eme 3.20 dit qu’une matrice orthogonale A telle que det A = 1 est la matrice
d’une rotation. Comment calculer en pratique l’angle de la rotation ? Pour cela nous
introduisons la trace d’une matrice.
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E est un sous-espace de dimension 2. Consid´ erons la transformation orthogonale T
de matrice A. Comme T pr´ eserve le produit scalaire et T (v 1 ) = v 1 , si w ∈ E, alors
T (w) ∈ E, car
T (w), T (v 1 ) = T (w), v 1 = w, v 1 = 0.
Consid´ erons la restriction T E de T ` a E. Soit B
= {v 2 , v 3 } une base orthonormale de E.
Regardons la matrice B de T E dans la base B
. Si
B =
b 22 b 23
b 32 b 33
ceci signifie
T (v 2 ) = b 22 v 2 + b 32 v 3
T (v 3 ) = b 23 v 2 + b 33 v 3 .
Comme T E pr´ eserve le produit scalaire, B doit ˆ etre une matrice orthogonale. Regardons maintenant la matrice [T ] B de T dans la base B = {v 1 , v 2 , v 3 } (qui est une base
orthonormale de R
3 ) :
[T ] B =
⎛
⎜
⎜
⎝
1
0
0
B
⎞
⎟
⎟
⎠ .
Le d´ eterminant de cette matrice est ´ egal `
a det B. (Rappelons que le d´ eterminant de
la matrice d’une transformation lin´ eaire ne change pas si on change de base.) Donc,
det B = det A = 1. D’apr` es la proposition 3.17, la matrice B est la matrice d’une
rotation. D’o` u
[T ] B =
⎛
⎝
1
0
0
0 cosθ − sin θ
0 sinθ
cos θ
⎞
⎠ .
Regardons cette matrice : elle nous dit que tous les vecteurs de l’axe port´ e par v 1 sont
envoy´ es sur eux-mˆ emes par T , et que tous les vecteurs dans le plan E subissent une
rotation d’angle θ. Si maintenant on d´ ecompose un vecteur v en v = Cv 1 + w avec
w ∈ E, alors T (v) = Cv 1 + T E (w), o` u T E est la rotation d’angle θ dans le plan E. C’est
bien l’action d’une rotation d’angle θ autour de l’axe port´ e par v 1 .
Corollaire 3.21 Si A est une matrice orthogonale 3 × 3 telle que det A = 1 et toutes
les valeurs propres de A sont r´ eelles, alors, soit A est la matrice identit´ e, soit A a les
trois valeurs propres 1, −1, −1. Dans ce dernier cas, A est la matrice d’une sym´ etrie
par rapport `
a la droite qui a la direction d’un vecteur propre de +1. (On peut aussi
visualiser cette transformation comme une rotation d’angle π autour de l’axe qui a la
direction d’un vecteur propre de +1.)
Le th´ eor` eme 3.20 dit qu’une matrice orthogonale A telle que det A = 1 est la matrice
d’une rotation. Comment calculer en pratique l’angle de la rotation ? Pour cela nous
introduisons la trace d’une matrice.