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3 Les mouvements d’un robot
Donc,
c = −C sin θ
d = C cos θ
pour un C ∈ R. Puisque la deuxi` eme colonne est un vecteur de longueur 1, soit c
2 +d
2 =
1, ceci nous donne C
2 = 1, soit C = ±1. Finalement, puisque det A = C, on doit avoir
C = 1.
Le polynˆ ome caract´ eristique est alors det(λI − A) = λ
2
− 2aλ + 1, dont les racines
sont a ±
√
a 2 − 1. La conclusion suit puisque
±
a 2 − 1 = ±
cos 2 θ − 1 = ±
−(1 − cos 2 θ) = ±i sin θ = ±ib.
Lemme 3.18 Toutes les valeurs propres r´ eelles d’une matrice orthogonale A sont ´ egales
` a ±1.
Preuve Soit λ une valeur propre r´ eelle et v, un vecteur propre correspondant. Soit
T la transformation orthogonale de matrice A. Comme T pr´ eserve les longueurs, on
a T (v), T (v) = v, v. Mais T (v) = λv. Donc, T (v), T (v) = λv, λv = λ
2
v, v.
Finalement λ
2 = 1.
Proposition 3.19 Si A est une matrice orthogonale 3 × 3 avec det A = 1, alors 1 est
toujours une valeur propre. De plus, toute valeur propre complexe λ = a + ib est de
module 1.
Preuve Le polynˆ ome caract´ eristique de A, det(λI − A), est de degr´ e 3, donc il a
toujours une racine r´ eelle λ 1 , qui ne peut ˆ etre que 1 ou −1 d’apr` es la proposition 3.18.
Quant aux deux autres valeurs propres λ 2 et λ 3 , soit elles sont r´ eelles, soit elles sont
complexes de la forme a ± ib. Le d´ eterminant est le produit des valeurs propres. Donc,
1 = λ 1 λ 2 λ 3 . Si λ 2 et λ 3 sont r´ eelles, alors λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ {1, −1} de par le lemme 3.18.
Pour que le produit soit 1, on ne peut avoir que 0 ou deux valeurs propres ´ egales ` a −1,
et donc, au moins une des valeurs propres est ´ egale `
a 1. Si λ 2 et λ 3 sont complexes, alors
λ 2 = a + ib et λ 3 = λ 2 = a − ib, d’o` u λ 2 λ 3 = |λ 2 |
2 = a
2 + b
2 . Comme 1 = λ 1 λ 2 λ 3 > 0,
alors λ 1 = 1 et a
2 + b
2 = 1.
Th´ eor` eme 3.20 Si A est une matrice 3 × 3 orthogonale telle que det A = 1, alors A
est la matrice d’une rotation T d’angle θ autour d’un axe. Si A n’est pas la matrice
identit´ e, alors la direction de l’axe de rotation est la direction du vecteur propre de la
valeur propre +1.
Preuve Soit v 1 un vecteur propre unitaire de la valeur propre 1. On consid` ere le
sous-espace orthogonal `
a v 1 :
E = {w ∈ R
3
||v 1 , w = 0}.
3 Les mouvements d’un robot
Donc,
c = −C sin θ
d = C cos θ
pour un C ∈ R. Puisque la deuxi` eme colonne est un vecteur de longueur 1, soit c
2 +d
2 =
1, ceci nous donne C
2 = 1, soit C = ±1. Finalement, puisque det A = C, on doit avoir
C = 1.
Le polynˆ ome caract´ eristique est alors det(λI − A) = λ
2
− 2aλ + 1, dont les racines
sont a ±
√
a 2 − 1. La conclusion suit puisque
±
a 2 − 1 = ±
cos 2 θ − 1 = ±
−(1 − cos 2 θ) = ±i sin θ = ±ib.
Lemme 3.18 Toutes les valeurs propres r´ eelles d’une matrice orthogonale A sont ´ egales
` a ±1.
Preuve Soit λ une valeur propre r´ eelle et v, un vecteur propre correspondant. Soit
T la transformation orthogonale de matrice A. Comme T pr´ eserve les longueurs, on
a T (v), T (v) = v, v. Mais T (v) = λv. Donc, T (v), T (v) = λv, λv = λ
2
v, v.
Finalement λ
2 = 1.
Proposition 3.19 Si A est une matrice orthogonale 3 × 3 avec det A = 1, alors 1 est
toujours une valeur propre. De plus, toute valeur propre complexe λ = a + ib est de
module 1.
Preuve Le polynˆ ome caract´ eristique de A, det(λI − A), est de degr´ e 3, donc il a
toujours une racine r´ eelle λ 1 , qui ne peut ˆ etre que 1 ou −1 d’apr` es la proposition 3.18.
Quant aux deux autres valeurs propres λ 2 et λ 3 , soit elles sont r´ eelles, soit elles sont
complexes de la forme a ± ib. Le d´ eterminant est le produit des valeurs propres. Donc,
1 = λ 1 λ 2 λ 3 . Si λ 2 et λ 3 sont r´ eelles, alors λ 1 , λ 2 , λ 3 ∈ {1, −1} de par le lemme 3.18.
Pour que le produit soit 1, on ne peut avoir que 0 ou deux valeurs propres ´ egales ` a −1,
et donc, au moins une des valeurs propres est ´ egale `
a 1. Si λ 2 et λ 3 sont complexes, alors
λ 2 = a + ib et λ 3 = λ 2 = a − ib, d’o` u λ 2 λ 3 = |λ 2 |
2 = a
2 + b
2 . Comme 1 = λ 1 λ 2 λ 3 > 0,
alors λ 1 = 1 et a
2 + b
2 = 1.
Th´ eor` eme 3.20 Si A est une matrice 3 × 3 orthogonale telle que det A = 1, alors A
est la matrice d’une rotation T d’angle θ autour d’un axe. Si A n’est pas la matrice
identit´ e, alors la direction de l’axe de rotation est la direction du vecteur propre de la
valeur propre +1.
Preuve Soit v 1 un vecteur propre unitaire de la valeur propre 1. On consid` ere le
sous-espace orthogonal `
a v 1 :
E = {w ∈ R
3
||v 1 , w = 0}.