3.3 Propri´ et´ es des matrices orthogonales
101
Rappel sur les nombres complexes
• Le conjugu´ e d’un nombre complexe z = x + iy est le nombre complexe z = x − iy.
De plus, on v´ erifie facilement que si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes, alors
z 1 + z 2 = z 1 + z 2
z 1 z 2 = z 1 z 2 .
(3.5)
• z est r´ eel si et seulement si z = z.
• Le module d’un nombre complexe z = x + iy est |z| =
x 2 + y 2 =
√
zz.
Proposition 3.16 Si A est une matrice r´ eelle et si λ = a + ib, b = 0, est une valeur
propre complexe de A de vecteur propre v, alors λ = a − ib est aussi une valeur propre
de A de vecteur propre v.
Preuve Soit v un vecteur propre complexe de λ. On a A[v] = λ[v]. Prenons le conjugu´ e
de cette expression. D’apr` es (3.5), on obtient A[v] = A[v] = λ[v]. Comme A est r´ eelle,
alors A = A. D’o` u
A[v] = λ[v],
ce qui entraˆ ıne que λ est une valeur propre de A de vecteur propre v.
Le r´ esultat principal que nous voulons montrer est que toute matrice orthogonale A,
3 × 3, avec det A = 1, est la matrice d’une rotation d’angle θ autour d’un axe. Parmi
les r´ esultats interm´ ediaires, nous commencerons par le r´ esultat correspondant pour une
matrice 2 × 2.
Proposition 3.17 Si A est une matrice 2 × 2 orthogonale telle que det A = 1, alors A
est la matrice d’une rotation d’angle θ,
A =
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
,
pour un θ ∈ [0, 2π). Les valeurs propres sont λ 1 = a + ib et λ 2 = a − ib, pour a = cos θ
et b = sin θ. Elles sont r´ eelles si et seulement si θ = 0, π. Dans le cas θ = 0, on obtient
a = 1, b = 0, et A est la matrice identit´ e ; dans le cas θ = π on obtient a = −1, b = 0,
et A est la rotation d’angle π (aussi appel´ ee sym´ etrie par rapport `
a l’origine).
Preuve Soit
A =
a c
b d
.
Comme les colonnes sont de longueur 1, on doit avoir a
2 +b
2 = 1, ce qui permet de poser
a = cos θ et b = sin θ. Puisque les deux colonnes sont orthogonales, n´ ecessairement
c cos θ + d sin θ = 0.
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Rappel sur les nombres complexes
• Le conjugu´ e d’un nombre complexe z = x + iy est le nombre complexe z = x − iy.
De plus, on v´ erifie facilement que si z 1 et z 2 sont deux nombres complexes, alors
z 1 + z 2 = z 1 + z 2
z 1 z 2 = z 1 z 2 .
(3.5)
• z est r´ eel si et seulement si z = z.
• Le module d’un nombre complexe z = x + iy est |z| =
x 2 + y 2 =
√
zz.
Proposition 3.16 Si A est une matrice r´ eelle et si λ = a + ib, b = 0, est une valeur
propre complexe de A de vecteur propre v, alors λ = a − ib est aussi une valeur propre
de A de vecteur propre v.
Preuve Soit v un vecteur propre complexe de λ. On a A[v] = λ[v]. Prenons le conjugu´ e
de cette expression. D’apr` es (3.5), on obtient A[v] = A[v] = λ[v]. Comme A est r´ eelle,
alors A = A. D’o` u
A[v] = λ[v],
ce qui entraˆ ıne que λ est une valeur propre de A de vecteur propre v.
Le r´ esultat principal que nous voulons montrer est que toute matrice orthogonale A,
3 × 3, avec det A = 1, est la matrice d’une rotation d’angle θ autour d’un axe. Parmi
les r´ esultats interm´ ediaires, nous commencerons par le r´ esultat correspondant pour une
matrice 2 × 2.
Proposition 3.17 Si A est une matrice 2 × 2 orthogonale telle que det A = 1, alors A
est la matrice d’une rotation d’angle θ,
A =
cos θ − sin θ
sin θ
cos θ
,
pour un θ ∈ [0, 2π). Les valeurs propres sont λ 1 = a + ib et λ 2 = a − ib, pour a = cos θ
et b = sin θ. Elles sont r´ eelles si et seulement si θ = 0, π. Dans le cas θ = 0, on obtient
a = 1, b = 0, et A est la matrice identit´ e ; dans le cas θ = π on obtient a = −1, b = 0,
et A est la rotation d’angle π (aussi appel´ ee sym´ etrie par rapport `
a l’origine).
Preuve Soit
A =
a c
b d
.
Comme les colonnes sont de longueur 1, on doit avoir a
2 +b
2 = 1, ce qui permet de poser
a = cos θ et b = sin θ. Puisque les deux colonnes sont orthogonales, n´ ecessairement
c cos θ + d sin θ = 0.