100
3 Les mouvements d’un robot
T
⎛
⎝
1
0
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
1
0
⎞
⎠
T
⎛
⎝
0
1
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1
0
0
⎞
⎠
T
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠ .
Sous l’action de T , on voit que le troisi` eme vecteur e 3 est rest´ e inchang´ e alors que les
deux vecteurs e 1 et e 2 ont tourn´ e de
π
2 dans le plan (x, y). Le polynˆ ome caract´ eristique
est
det(λI − B) = (λ
2 + 1)(λ − 1),
qui a les trois racines 1, i, −i. Les deux valeurs propres complexes i et −i sont les
conjugu´ ees l’une de l’autre et ont pour module 1.
On rappelle sans preuve la proposition suivante.
Proposition 3.14 1. Soit A une matrice n × n. Alors,
det A
t = det A.
2. Soient A et B deux matrices n × n. Alors
det AB = det A det B.
Th´ eor` eme 3.15 Une matrice orthogonale a pour d´ eterminant +1 ou −1.
Preuve D’apr` es la proposition 3.14, on a
det AA
t = det A det A
t = (det A)
2 .
D’autre part, AA
t = I, d’o` u det AA
t = 1. Donc, (det A)
2 = 1, c’est-` a-dire det A = ±1.
On voit qu’on a deux cas pour une matrice orthogonale :
• det A = 1. Dans ce cas-ci, la transformation orthogonale correspond au mouvement
d’un solide ayant un point fixe. Nous allons voir que les seuls mouvements de ce
type sont les rotations.
• det A = −1. Dans ce cas-ci, la transformation « renverse l’orientation ». Un tel exemple de transformation est la sym´ etrie par rapport `
a un plan. Prenez un objet dissym´ etrique, par exemple votre main droite, et son image dans un miroir : vous ne
pourrez jamais transporter l’objet dans l’espace pour aller le superposer `
a l’image
initiale que vous avez observ´ ee. Les transformations orthogonales de d´ eterminant
−1 ne sont pas des mouvements du solide. Par contre, on peut montrer que toute
transformation orthogonale de d´ eterminant −1 peut s’´ ecrire comme la composition
d’une rotation et d’une sym´ etrie par rapport `
a un plan (exercice 10).
3 Les mouvements d’un robot
T
⎛
⎝
1
0
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
1
0
⎞
⎠
T
⎛
⎝
0
1
0
⎞
⎠ =
⎛
⎝
−1
0
0
⎞
⎠
T
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠ =
⎛
⎝
0
0
1
⎞
⎠ .
Sous l’action de T , on voit que le troisi` eme vecteur e 3 est rest´ e inchang´ e alors que les
deux vecteurs e 1 et e 2 ont tourn´ e de
π
2 dans le plan (x, y). Le polynˆ ome caract´ eristique
est
det(λI − B) = (λ
2 + 1)(λ − 1),
qui a les trois racines 1, i, −i. Les deux valeurs propres complexes i et −i sont les
conjugu´ ees l’une de l’autre et ont pour module 1.
On rappelle sans preuve la proposition suivante.
Proposition 3.14 1. Soit A une matrice n × n. Alors,
det A
t = det A.
2. Soient A et B deux matrices n × n. Alors
det AB = det A det B.
Th´ eor` eme 3.15 Une matrice orthogonale a pour d´ eterminant +1 ou −1.
Preuve D’apr` es la proposition 3.14, on a
det AA
t = det A det A
t = (det A)
2 .
D’autre part, AA
t = I, d’o` u det AA
t = 1. Donc, (det A)
2 = 1, c’est-` a-dire det A = ±1.
On voit qu’on a deux cas pour une matrice orthogonale :
• det A = 1. Dans ce cas-ci, la transformation orthogonale correspond au mouvement
d’un solide ayant un point fixe. Nous allons voir que les seuls mouvements de ce
type sont les rotations.
• det A = −1. Dans ce cas-ci, la transformation « renverse l’orientation ». Un tel exemple de transformation est la sym´ etrie par rapport `
a un plan. Prenez un objet dissym´ etrique, par exemple votre main droite, et son image dans un miroir : vous ne
pourrez jamais transporter l’objet dans l’espace pour aller le superposer `
a l’image
initiale que vous avez observ´ ee. Les transformations orthogonales de d´ eterminant
−1 ne sont pas des mouvements du solide. Par contre, on peut montrer que toute
transformation orthogonale de d´ eterminant −1 peut s’´ ecrire comme la composition
d’une rotation et d’une sym´ etrie par rapport `
a un plan (exercice 10).