3.3 Propri´ et´ es des matrices orthogonales
99
Il est utile de travailler avec des bases orthonormales. On pr´ ef` ere donc remplacer v 3
par un vecteur v
3 = (x, y, z) orthogonal `
a v 2 . Il doit satisfaire `
a 2x + y + z = 0, soit ˆ etre
un vecteur propre de −1, et ` a x − 2y = 0, soit ˆ etre orthogonal ` a v 2 . On peut prendre
v
3 = (−2, −1, 5) qui est solution du syst` eme
2x + y + z = 0,
x − 2y = 0.
Pour passer `
a une base orthonormale, on divise chacun des vecteurs par sa longueur.
On obtient la base orthonormale
B =
w 1 =
2
√
6
,
1
√
6
,
1
√
6
, w 2 =
1
√
5
, −
2
√
5
, 0
, w 3 =
−
2
√
30
, −
1
√
30
,
5
√
30
.
Dans cette base, la matrice de la transformation est donn´ ee par
[T ] B =
⎛
⎝
1 0
0
0 −1 0
0 0 −1
⎞
⎠ .
G´ eom´ etriquement, on a T (w 1 ) = w 1 , T (w 2 ) = −w 2 et T (w 3 ) = −w 3 . On voit que cette
transformation est la sym´ etrie par rapport ` a la droite de vecteur directeur w 1 ; cette
transformation peut aussi ˆ etre vue comme la rotation d’angle π autour de l’axe w 1 . On
voit donc comment la diagonalisation nous a permis de « comprendre » la g´ eom´ etrie de
la transformation.
Quelques caract´ eristiques de l’exemple 3.12 Les valeurs propres 1 et −1 ont
toutes deux une valeur absolue ´ egale `
a 1. Ce n’est pas un hasard puisqu’une transformation orthogonale pr´ eserve les distances. On ne peut donc avoir T (v) = λv avec
|λ| = 1. De plus, tous les vecteurs propres de la valeur propre −1 sont orthogonaux aux
vecteurs propres de la valeur propre 1. Ici non plus, ce n’est pas un hasard. Nous allons
´ enoncer les propri´ et´ es particuli` eres des transformations orthogonales en ce qui concerne
la diagonalisation.
Comme nous l’avons d´ ej` a mentionn´ e, les valeurs propres d’une matrice orthogonale
ne sont pas toujours r´ eelles. Regardons l’exemple suivant.
Exemple 3.13 La matrice
B =
⎛
⎝
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
⎞
⎠
d’une transformation T est orthogonale (exercice). Elle repr´ esente une rotation de
π
2
autour de l’axe z : on le v´ erifie en regardant l’image des trois vecteurs de la base
99
Il est utile de travailler avec des bases orthonormales. On pr´ ef` ere donc remplacer v 3
par un vecteur v
3 = (x, y, z) orthogonal `
a v 2 . Il doit satisfaire `
a 2x + y + z = 0, soit ˆ etre
un vecteur propre de −1, et ` a x − 2y = 0, soit ˆ etre orthogonal ` a v 2 . On peut prendre
v
3 = (−2, −1, 5) qui est solution du syst` eme
2x + y + z = 0,
x − 2y = 0.
Pour passer `
a une base orthonormale, on divise chacun des vecteurs par sa longueur.
On obtient la base orthonormale
B =
w 1 =
2
√
6
,
1
√
6
,
1
√
6
, w 2 =
1
√
5
, −
2
√
5
, 0
, w 3 =
−
2
√
30
, −
1
√
30
,
5
√
30
.
Dans cette base, la matrice de la transformation est donn´ ee par
[T ] B =
⎛
⎝
1 0
0
0 −1 0
0 0 −1
⎞
⎠ .
G´ eom´ etriquement, on a T (w 1 ) = w 1 , T (w 2 ) = −w 2 et T (w 3 ) = −w 3 . On voit que cette
transformation est la sym´ etrie par rapport ` a la droite de vecteur directeur w 1 ; cette
transformation peut aussi ˆ etre vue comme la rotation d’angle π autour de l’axe w 1 . On
voit donc comment la diagonalisation nous a permis de « comprendre » la g´ eom´ etrie de
la transformation.
Quelques caract´ eristiques de l’exemple 3.12 Les valeurs propres 1 et −1 ont
toutes deux une valeur absolue ´ egale `
a 1. Ce n’est pas un hasard puisqu’une transformation orthogonale pr´ eserve les distances. On ne peut donc avoir T (v) = λv avec
|λ| = 1. De plus, tous les vecteurs propres de la valeur propre −1 sont orthogonaux aux
vecteurs propres de la valeur propre 1. Ici non plus, ce n’est pas un hasard. Nous allons
´ enoncer les propri´ et´ es particuli` eres des transformations orthogonales en ce qui concerne
la diagonalisation.
Comme nous l’avons d´ ej` a mentionn´ e, les valeurs propres d’une matrice orthogonale
ne sont pas toujours r´ eelles. Regardons l’exemple suivant.
Exemple 3.13 La matrice
B =
⎛
⎝
0 −1 0
1 0 0
0 0 1
⎞
⎠
d’une transformation T est orthogonale (exercice). Elle repr´ esente une rotation de
π
2
autour de l’axe z : on le v´ erifie en regardant l’image des trois vecteurs de la base