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3 Les mouvements d’un robot
2. Les valeurs propres sont les racines du polynˆ ome
P (λ) = det(λI − A)
de degr´ e n. Le polynˆ ome P (λ) est appel´ e polynˆ ome caract´ eristique de T (ou de A).
3. Soit v ∈ R
n
\ {0}. Alors, v est vecteur propre de λ si et seulement si [v] est solution
du syst` eme d’´ equations lin´ eaires homog` ene
(λI − A)[v] = 0.
Exemple 3.12 Soit la transformation lin´ eaire orthogonale de matrice A donn´ ee en
(3.4). Pour diagonaliser la matrice A, on doit commencer par calculer son polynˆ ome
caract´ eristique
P (λ) = det(λI − A) =
λ − 1/3 −2/3
−2/3
−2/3 λ + 2/3
−1/3
−2/3
−1/3
λ + 2/3
.
On a
P (λ) = λ
3 + λ
2
− λ − 1 = (λ + 1)
2 (λ − 1).
La matrice a donc les deux valeurs propres 1 et −1. Calculons leurs vecteurs propres.
Vecteurs propres de +1 Soit v un vecteur propre de 1. Alors [v] est solution du
syst` eme lin´ eaire homog` ene (I − A)[v] = 0. Pour trouver les solutions, on ´ echelonne la
matrice
I − A =
⎛
⎝
2/3 −2/3 −2/3
−2/3 5/3 −1/3
−2/3 −1/3 5/3
⎞
⎠ ∼
⎛
⎝
2/3 −2/3 −2/3
0
1
−1
0
−1
1
⎞
⎠
∼
⎛
⎝
1 −1 −1
0 1 −1
0 0
0
⎞
⎠ ∼
⎛
⎝
1 0 −2
0 1 −1
0 0 0
⎞
⎠ .
Toutes les solutions sont donc des multiples du vecteur propre v 1 = (2, 1, 1).
Vecteurs propres de −1 Ce sont les solutions du syst` eme homog` ene (−I − A)[v] = 0
ou encore du syst` eme ´ equivalent (I + A)[v] = 0. Pour trouver les solutions, on ´ echelonne
la matrice
I + A =
⎛
⎝
4/3 2/3 2/3
2/3 1/3 1/3
2/3 1/3 1/3
⎞
⎠ ∼
⎛
⎝
1 1/2 1/2
0 0
0
0 0
0
⎞
⎠ .
Ici, l’ensemble des solutions est un plan. Il est engendr´ e par les deux vecteurs v 2 =
(1, −2, 0) et v 3 = (1, 0, −2).