3.3 Propri´ et´ es des matrices orthogonales
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3.3 Propri´ et´ es des matrices orthogonales
Regardons la matrice orthogonale suivante :
A =
⎛
⎝
1/3 2/3
2/3
2/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3
⎞
⎠ .
(3.4)
Pouvons-nous d´ ecrire g´ eom´ etriquement la transformation orthogonale dont c’est la matrice ? En regardant cette matrice, il est difficile de visualiser l’action de T sur R
3 . Nous
savons seulement qu’elle est orthogonale, donc que la transformation lin´ eaire T pr´ eserve
les distances et les angles. Comment peut-on comprendre la g´ eom´ etrie de T ? L’outil
tr` es puissant qui nous permet de comprendre cette g´ eom´ etrie est la diagonalisation.
En pratique, quand on diagonalise une matrice, on change de syst` eme d’axes de coordonn´ ees. On se place dans un syst` eme d’axes de coordonn´ ees dans lequel la matrice de
la transformation lin´ eaire est simple, c’est-` a dire dans lequel on comprend la structure
de la transformation lin´ eaire. Avant de faire les calculs pour cette matrice, nous allons
rappeler les d´ efinitions pertinentes.
D´ efinition 3.10 Soit T : R
n
→ R
n une transformation lin´ eaire de matrice A. Un
nombre λ ∈ C est une valeur propre de T (ou de A) s’il existe un vecteur non nul
v ∈ C
n tel que T (v) = λv. Tout vecteur v ayant cette propri´ et´ e est appel´ e vecteur propre
de la valeur propre λ.
Remarques
1. Il est essentiel dans le contexte des transformations orthogonales de regarder des
valeurs propres complexes. En effet, lorsqu’on a un vecteur propre r´ eel v d’une
valeur propre r´ eelle λ non nulle, alors l’ensemble E des multiples de v forme un
sous-espace de dimension 1 (une droite) de R
n qui est invariant par T , c’est-` a-dire
T (E) = E. Prenons le cas d’une rotation de R
2 . Visiblement il n’y a pas de droite
invariante. Donc, les valeurs propres et les vecteurs propres associ´ es sont complexes.
2. Comment calcule-t-on T (v) si v ∈ C
n ? La base canonique (3.1) est aussi une base
de C
n . Cela a donc du sens de d´ efinir [T (v)] = A[v]. Donc, T (v) est le vecteur de
C
n dont les coordonn´ ees dans la base canonique de C
n sont A[v].
3. Prenons dans R
3 une rotation autour d’un axe : c’est une transformation orthogonale
dont l’axe de rotation est une droite invariante. Donc, nous allons trouver cet axe
lorsque nous diagonaliserons la transformation.
Nous donnons sans preuve le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 3.11 Soit T : R
n
→ R
n une transformation lin´ eaire de matrice A.
1. L’ensemble des vecteurs propres de la valeur propre λ forme un sous-espace vectoriel
de R
n appel´ e le sous-espace propre de la valeur propre λ.
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3.3 Propri´ et´ es des matrices orthogonales
Regardons la matrice orthogonale suivante :
A =
⎛
⎝
1/3 2/3
2/3
2/3 −2/3 1/3
2/3 1/3 −2/3
⎞
⎠ .
(3.4)
Pouvons-nous d´ ecrire g´ eom´ etriquement la transformation orthogonale dont c’est la matrice ? En regardant cette matrice, il est difficile de visualiser l’action de T sur R
3 . Nous
savons seulement qu’elle est orthogonale, donc que la transformation lin´ eaire T pr´ eserve
les distances et les angles. Comment peut-on comprendre la g´ eom´ etrie de T ? L’outil
tr` es puissant qui nous permet de comprendre cette g´ eom´ etrie est la diagonalisation.
En pratique, quand on diagonalise une matrice, on change de syst` eme d’axes de coordonn´ ees. On se place dans un syst` eme d’axes de coordonn´ ees dans lequel la matrice de
la transformation lin´ eaire est simple, c’est-` a dire dans lequel on comprend la structure
de la transformation lin´ eaire. Avant de faire les calculs pour cette matrice, nous allons
rappeler les d´ efinitions pertinentes.
D´ efinition 3.10 Soit T : R
n
→ R
n une transformation lin´ eaire de matrice A. Un
nombre λ ∈ C est une valeur propre de T (ou de A) s’il existe un vecteur non nul
v ∈ C
n tel que T (v) = λv. Tout vecteur v ayant cette propri´ et´ e est appel´ e vecteur propre
de la valeur propre λ.
Remarques
1. Il est essentiel dans le contexte des transformations orthogonales de regarder des
valeurs propres complexes. En effet, lorsqu’on a un vecteur propre r´ eel v d’une
valeur propre r´ eelle λ non nulle, alors l’ensemble E des multiples de v forme un
sous-espace de dimension 1 (une droite) de R
n qui est invariant par T , c’est-` a-dire
T (E) = E. Prenons le cas d’une rotation de R
2 . Visiblement il n’y a pas de droite
invariante. Donc, les valeurs propres et les vecteurs propres associ´ es sont complexes.
2. Comment calcule-t-on T (v) si v ∈ C
n ? La base canonique (3.1) est aussi une base
de C
n . Cela a donc du sens de d´ efinir [T (v)] = A[v]. Donc, T (v) est le vecteur de
C
n dont les coordonn´ ees dans la base canonique de C
n sont A[v].
3. Prenons dans R
3 une rotation autour d’un axe : c’est une transformation orthogonale
dont l’axe de rotation est une droite invariante. Donc, nous allons trouver cet axe
lorsque nous diagonaliserons la transformation.
Nous donnons sans preuve le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 3.11 Soit T : R
n
→ R
n une transformation lin´ eaire de matrice A.
1. L’ensemble des vecteurs propres de la valeur propre λ forme un sous-espace vectoriel
de R
n appel´ e le sous-espace propre de la valeur propre λ.