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3 Les mouvements d’un robot
les vecteurs colonnes de A) forment une base orthonormale. Donc, leur longueur est
pr´ eserv´ ee, et leurs angles respectifs sont pr´ eserv´ es. On peut se convaincre ais´ ement
qu’une transformation lin´ eaire pr´ eserve les distances et les angles si et seulement si
elle pr´ eserve le produit scalaire, c’est-` a-dire T (v), T (w) = v, w pour tous v, w.
Soit v, w deux vecteurs. Voyons que leur produit scalaire est pr´ eserv´ e si A est orthogonale :
T (v), T (w) = (A[v])
t (A[w])
= ([v]
t A
t )(A[w])
= [v]
t (A
t A)[w]
= [v]
t I[w]
= [v]
t [w]
= v, w.
Pour la partie directe, l’hypoth` ese est que T pr´ eserve les distances et les angles.
Supposons que A
t A = (b ij ). Prenons v = e i et w = e j . On a [T (v)] = A[v] et
[T (w)] = A[w]. Alors
T (v), T (w) = ([v]
t (A
t A))[w] = (b i1 · · · b in )[w] = b ij .
D’autre part, [v]
t [w] = δ ij o` u
δ ij =
1 si i = j,
0 si i = j.
Donc, ∀i, j, b ij = δ ij , ce qui revient `
a A
t A = I, c’est-` a-dire que A est orthogonale.
Th´ eor` eme 3.9 Les mouvements qui pr´ eservent les distances et les angles dans R
n sont
des compositions de translations et de transformations orthogonales. (Ces mouvements
sont aussi appel´ es des isom´ etries.)
Preuve Consid´ erons un mouvement F : R
n
→ R
n qui pr´ eserve les distances et les
angles. Soit F (0) = Q, et soit T la translation T (v) = v − Q. Alors T (Q) = 0. Donc,
T ◦ F (0) = 0. Soit G = T ◦ F . C’est une transformation qui pr´ eserve les distances et
les angles et qui a un point fixe ` a l’origine. Nous admettrons qu’elle est lin´ eaire (voir
la preuve `
a l’exercice 4). Par le th´ eor` eme pr´ ec´ edent, G est une transformation lin´ eaire
orthogonale. Or, F = T
−1
◦ G. Comme T
−1 est encore une translation, on a bien ´ ecrit
F comme composition d’une transformation lin´ eaire orthogonale avec une translation.