3.2 Mouvements qui pr´ eservent distances et angles
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2. Le produit scalaire de deux vecteurs v et w peut se calculer comme suit :
v, w = [v]
t [w].
Th´ eor` eme 3.8 1. Une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment
une base orthonormale de R
n .
2. Une transformation lin´ eaire pr´ eserve les distances et les angles si et seulement si sa
matrice est orthogonale.
Preuve 1. Remarquons que les colonnes de A sont donn´ ees par X i = A[e i ], i =
1, . . . , n, o` u les X i sont des matrices n × 1. On ´ ecrira
A =
X 1 X 2 . . . X n
.
Alors, les transpos´ ees X
t
1 , . . .X
t
n sont des vecteurs lignes, c’est-` a-dire des matrices
1 × n. Si on repr´ esente la matrice A
t par ses lignes, elle a la forme
A
t =
⎛
⎜
⎝
X
t
1
. . .
X
t
n
⎞
⎟
⎠ .
Calculons le produit matriciel A
t A en utilisant cette forme :
A
t A =
⎛
⎜
⎝
X
t
1
. . .
X
t
n
⎞
⎟
⎠
X 1 X 2 . . . X n
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
t
1 X 1 X
t
1 X 2 . . . X
t
1 X n
X
t
2 X 1 X
t
2 X 2 . . . X
t
2 X n
. . .
. . .
. . .
. . .
X
t
n X 1 X
t
n X 2 . . . X
t
n X n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Soit T la transformation lin´ eaire de matrice A. Nous avons
X
t
i X j = (A[e i ])
t A[e j ] = [T (e i )]
t [T (e j )] = T (e i ), T (e j ).
La matrice A est orthogonale si et seulement si la matrice A
t A est ´ egale `
a la matrice
identit´ e. Les entr´ ees sur la diagonale sont ´ egales ` a 1 si et seulement si le produit
scalaire de T (e i ) avec lui-mˆ eme est de longueur 1. Ce produit scalaire est ´ egal au
carr´ e de la longueur du vecteur T (e i ). Donc, les entr´ ees sur la diagonale sont ´ egales
` a 1 si et seulement si chaque vecteur T (e i ) est de longueur 1. Les entr´ ees de A
t A qui
ne sont pas sur la diagonale sont nulles si et seulement si, pour tout i = j, le produit
scalaire du vecteur T (e i ) avec le vecteur T (e j ) est nul. Donc, A est orthogonale si
et seulement si les vecteurs T (e 1 ), . . . , T (e n ) sont orthogonaux et de longueur 1,
c’est-` a-dire qu’ils forment une base orthonormale de R
n .
2. Commen¸ cons par prouver la r´ eciproque, ` a savoir que si T est une transformation
lin´ eaire dont la matrice A est orthogonale, alors T pr´ eserve les distances et les angles.
D’apr` es la premi` ere partie, les images des vecteurs de la base standard (qui sont
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2. Le produit scalaire de deux vecteurs v et w peut se calculer comme suit :
v, w = [v]
t [w].
Th´ eor` eme 3.8 1. Une matrice est orthogonale si et seulement si ses colonnes forment
une base orthonormale de R
n .
2. Une transformation lin´ eaire pr´ eserve les distances et les angles si et seulement si sa
matrice est orthogonale.
Preuve 1. Remarquons que les colonnes de A sont donn´ ees par X i = A[e i ], i =
1, . . . , n, o` u les X i sont des matrices n × 1. On ´ ecrira
A =
X 1 X 2 . . . X n
.
Alors, les transpos´ ees X
t
1 , . . .X
t
n sont des vecteurs lignes, c’est-` a-dire des matrices
1 × n. Si on repr´ esente la matrice A
t par ses lignes, elle a la forme
A
t =
⎛
⎜
⎝
X
t
1
. . .
X
t
n
⎞
⎟
⎠ .
Calculons le produit matriciel A
t A en utilisant cette forme :
A
t A =
⎛
⎜
⎝
X
t
1
. . .
X
t
n
⎞
⎟
⎠
X 1 X 2 . . . X n
=
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
X
t
1 X 1 X
t
1 X 2 . . . X
t
1 X n
X
t
2 X 1 X
t
2 X 2 . . . X
t
2 X n
. . .
. . .
. . .
. . .
X
t
n X 1 X
t
n X 2 . . . X
t
n X n
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Soit T la transformation lin´ eaire de matrice A. Nous avons
X
t
i X j = (A[e i ])
t A[e j ] = [T (e i )]
t [T (e j )] = T (e i ), T (e j ).
La matrice A est orthogonale si et seulement si la matrice A
t A est ´ egale `
a la matrice
identit´ e. Les entr´ ees sur la diagonale sont ´ egales ` a 1 si et seulement si le produit
scalaire de T (e i ) avec lui-mˆ eme est de longueur 1. Ce produit scalaire est ´ egal au
carr´ e de la longueur du vecteur T (e i ). Donc, les entr´ ees sur la diagonale sont ´ egales
` a 1 si et seulement si chaque vecteur T (e i ) est de longueur 1. Les entr´ ees de A
t A qui
ne sont pas sur la diagonale sont nulles si et seulement si, pour tout i = j, le produit
scalaire du vecteur T (e i ) avec le vecteur T (e j ) est nul. Donc, A est orthogonale si
et seulement si les vecteurs T (e 1 ), . . . , T (e n ) sont orthogonaux et de longueur 1,
c’est-` a-dire qu’ils forment une base orthonormale de R
n .
2. Commen¸ cons par prouver la r´ eciproque, ` a savoir que si T est une transformation
lin´ eaire dont la matrice A est orthogonale, alors T pr´ eserve les distances et les angles.
D’apr` es la premi` ere partie, les images des vecteurs de la base standard (qui sont