3.2 Mouvements qui pr´ eservent distances et angles
93
le cas du plan, ces mouvements seront des compositions de translations et de rotations
autour d’un axe. Les diff´ erentes rotations auront en g´ en´ eral des axes distincts.
• Si on choisit un syst` eme d’axes dont l’origine se trouve sur l’axe d’une rotation,
alors dans ce syst` eme d’axes, la rotation est une transformation lin´ eaire. Sa matrice
est plus simple si l’axe de rotation est l’un des axes de coordonn´ ees.
• Comme les diff´ erents axes de rotation sont distincts, il nous faudra ´ etudier ensuite
les changements de syst` emes de coordonn´ ees. Si on connaˆ ıt les coordonn´ ees d’un
point Q donn´ e dans un syst` eme de coordonn´ ees, cela permettra de calculer ses
coordonn´ ees dans un nouveau syst` eme de coordonn´ ees.
• Pour l’exemple de la figure 3.1 on apprendra `
a calculer la position de l’extr´ emit´ e
de la pince apr` es application des rotations R i (θ i ) d’angles θ i , i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},
avec les six mouvements d´ ecrits.
3.2 Mouvements qui pr´ eservent les distances
et les angles dans le plan ou dans l’espace
Nous allons commencer par consid´ erer les transformations lin´ eaires qui pr´ eservent
les distances et les angles : ce sont pr´ ecis´ ement les transformations lin´ eaires dont la
matrice est orthogonale, appel´ ees transformations orthogonales. Ce sera le cas d’une
rotation autour d’un axe passant par l’origine.
Nous avons besoin de quelques rappels sur les transformations lin´ eaires. Nous allons
donner les d´ efinitions pour les transformations lin´ eaires dans R
n , mais nous serons en
pratique int´ eress´ es aux cas n = 2 ou n = 3. Tout d’abord un peu de notation.
Notation Nous allons faire la distinction entre les vecteurs de R
n qui sont des objets
g´ eom´ etriques et que l’on notera v, w, . . . et les matrices colonnes n × 1 qui repr´ esentent
leurs coordonn´ ees dans la base canonique C = {e 1 , . . . , e n }, o` u
e 1 = (1, 0, . . . , 0),
e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
. . .
e n = (0, . . . , 0, 1).
(3.1)
On notera la matrice colonne des coordonn´ ees du vecteur v comme [v] ou encore [v] C .
Nous faisons cette distinction parce que nous aurons besoin de regarder des changements
de bases.
Th´ eor` eme 3.4 Soit T : R
n
→ R
n une transformation lin´ eaire, c’est-` a-dire une transformation qui a les propri´ et´ es suivantes :
T (v + w) = T (v) + T (w),
∀v, w ∈ R
n ,
T (αv)
= αT (v),
∀v ∈ R
n , ∀α ∈ R.
(3.2)
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le cas du plan, ces mouvements seront des compositions de translations et de rotations
autour d’un axe. Les diff´ erentes rotations auront en g´ en´ eral des axes distincts.
• Si on choisit un syst` eme d’axes dont l’origine se trouve sur l’axe d’une rotation,
alors dans ce syst` eme d’axes, la rotation est une transformation lin´ eaire. Sa matrice
est plus simple si l’axe de rotation est l’un des axes de coordonn´ ees.
• Comme les diff´ erents axes de rotation sont distincts, il nous faudra ´ etudier ensuite
les changements de syst` emes de coordonn´ ees. Si on connaˆ ıt les coordonn´ ees d’un
point Q donn´ e dans un syst` eme de coordonn´ ees, cela permettra de calculer ses
coordonn´ ees dans un nouveau syst` eme de coordonn´ ees.
• Pour l’exemple de la figure 3.1 on apprendra `
a calculer la position de l’extr´ emit´ e
de la pince apr` es application des rotations R i (θ i ) d’angles θ i , i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},
avec les six mouvements d´ ecrits.
3.2 Mouvements qui pr´ eservent les distances
et les angles dans le plan ou dans l’espace
Nous allons commencer par consid´ erer les transformations lin´ eaires qui pr´ eservent
les distances et les angles : ce sont pr´ ecis´ ement les transformations lin´ eaires dont la
matrice est orthogonale, appel´ ees transformations orthogonales. Ce sera le cas d’une
rotation autour d’un axe passant par l’origine.
Nous avons besoin de quelques rappels sur les transformations lin´ eaires. Nous allons
donner les d´ efinitions pour les transformations lin´ eaires dans R
n , mais nous serons en
pratique int´ eress´ es aux cas n = 2 ou n = 3. Tout d’abord un peu de notation.
Notation Nous allons faire la distinction entre les vecteurs de R
n qui sont des objets
g´ eom´ etriques et que l’on notera v, w, . . . et les matrices colonnes n × 1 qui repr´ esentent
leurs coordonn´ ees dans la base canonique C = {e 1 , . . . , e n }, o` u
e 1 = (1, 0, . . . , 0),
e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0),
. . .
e n = (0, . . . , 0, 1).
(3.1)
On notera la matrice colonne des coordonn´ ees du vecteur v comme [v] ou encore [v] C .
Nous faisons cette distinction parce que nous aurons besoin de regarder des changements
de bases.
Th´ eor` eme 3.4 Soit T : R
n
→ R
n une transformation lin´ eaire, c’est-` a-dire une transformation qui a les propri´ et´ es suivantes :
T (v + w) = T (v) + T (w),
∀v, w ∈ R
n ,
T (αv)
= αT (v),
∀v ∈ R
n , ∀α ∈ R.
(3.2)