3.1 Introduction
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Regardons maintenant la figure 3.2 et supposons qu’au d´ epart, le point A est situ´ e ` a
l’origine avec le vecteur
− − →
AB dans la direction horizontale vers la droite. Pour l’amener
` a la position d´ ecrite par les nombres (x, y, α), nous pouvons commencer par appliquer
une translation de (x, 0) dans la direction de e 1 = (1, 0), puis une translation de (0, y)
dans la direction de e 2 = (0, 1) pour finalement lui faire subir une rotation d’angle α
autour de (x, y).
On a fait une ´ equivalence entre les nombres (x, y, α) d´ eterminant la position du
triangle et les mouvements qui permettent d’amener le triangle de la position (0, 0, 0) `
a
la position (x, y, α). Nous donnons sans preuve le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 3.2 Les mouvements d’un solide dans le plan sont des compositions de
translations et de rotations. Ce sont des mouvements qui pr´ eservent les longueurs et
les angles et qui pr´ eservent l’orientation.
Exemple 3.3 Imaginons maintenant un robot r´ ealisant les mouvements que nous venons de d´ ecrire. Il est donn´ e ` a la figure 3.3 dans un plan vertical : au bout du deuxi` eme
bras se trouve une pince perpendiculaire au plan de mouvement du robot et actionn´ ee
par une troisi` eme rotation. Si un triangle ´ etait attach´ e au bout du deuxi` eme bras en un
Fig. 3.3. Un robot plan
point A, le mouvement de rotation le ferait tourner autour de A (figure 3.4). Quelles
sont les positions que peut atteindre l’extr´ emit´ e du deuxi` eme bras ? Tous les points du
plan ne peuvent ˆ etre atteints, car on est limit´ e par la longueur des bras et la pr´ esence
du mur. Mais on peut atteindre beaucoup de positions, soit un ensemble de dimension
2, alors que si on avait un unique bras, les positions seraient limit´ ees `
a un ensemble de
dimension 1, en l’occurrence un arc de cercle. Les positions exactes que peut atteindre
le point A font l’objet de l’exercice 13.
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Regardons maintenant la figure 3.2 et supposons qu’au d´ epart, le point A est situ´ e ` a
l’origine avec le vecteur
− − →
AB dans la direction horizontale vers la droite. Pour l’amener
` a la position d´ ecrite par les nombres (x, y, α), nous pouvons commencer par appliquer
une translation de (x, 0) dans la direction de e 1 = (1, 0), puis une translation de (0, y)
dans la direction de e 2 = (0, 1) pour finalement lui faire subir une rotation d’angle α
autour de (x, y).
On a fait une ´ equivalence entre les nombres (x, y, α) d´ eterminant la position du
triangle et les mouvements qui permettent d’amener le triangle de la position (0, 0, 0) `
a
la position (x, y, α). Nous donnons sans preuve le th´ eor` eme suivant.
Th´ eor` eme 3.2 Les mouvements d’un solide dans le plan sont des compositions de
translations et de rotations. Ce sont des mouvements qui pr´ eservent les longueurs et
les angles et qui pr´ eservent l’orientation.
Exemple 3.3 Imaginons maintenant un robot r´ ealisant les mouvements que nous venons de d´ ecrire. Il est donn´ e ` a la figure 3.3 dans un plan vertical : au bout du deuxi` eme
bras se trouve une pince perpendiculaire au plan de mouvement du robot et actionn´ ee
par une troisi` eme rotation. Si un triangle ´ etait attach´ e au bout du deuxi` eme bras en un
Fig. 3.3. Un robot plan
point A, le mouvement de rotation le ferait tourner autour de A (figure 3.4). Quelles
sont les positions que peut atteindre l’extr´ emit´ e du deuxi` eme bras ? Tous les points du
plan ne peuvent ˆ etre atteints, car on est limit´ e par la longueur des bras et la pr´ esence
du mur. Mais on peut atteindre beaucoup de positions, soit un ensemble de dimension
2, alors que si on avait un unique bras, les positions seraient limit´ ees `
a un ensemble de
dimension 1, en l’occurrence un arc de cercle. Les positions exactes que peut atteindre
le point A font l’objet de l’exercice 13.