3.1 Introduction
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Fig. 3.1. Exemple d’un robot tridimensionnel avec six degr´ es de libert´ e
joignant l’origine `
a Q. R´ eciproquement, si on se donne une direction, c’est-` a-dire
une demi-droite issue de P , elle coupe la sph` ere centr´ ee en P de rayon 1 en un
point. On a une bijection entre les points de la sph` ere et les directions. Pour se
donner une direction, il suffit donc de pr´ eciser un point de la sph` ere. Ceci se fait
de mani` ere ´ economique en utilisant les coordonn´ ees sph´ eriques : les points de la
sph` ere de rayon 1 sont les points
(a, b, c) = (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ),
avec θ ∈ [0, 2π) et φ ∈ [−
π
2 ,
π
2 ]. Donc, les deux nombres θ et φ suffisent pour
d´ ecrire la position de l’axe de la pince.
• l’angle de la pince autour de son axe. En effet, la pince peut pivoter autour de son
axe par un mouvement de rotation, lequel est uniquement d´ etermin´ e par un angle
de rotation α.
Au total, on a eu besoin des six nombres (x, y, z, θ, φ, α) pour sp´ ecifier la position de la
pince du robot pour le travailleur. Par analogie avec l’exemple 3.1, on dira que le robot
de la figure 3.1 a six degr´ es de libert´ e. Les rotations 1, 2 et 3 am` enent P ` a sa position,
c’est-` a-dire permettent de r´ ealiser la position (x, y, z). Les rotations 4 et 5 placent l’axe
de la pince dans la bonne direction, soit la direction (a, b, c), alors que la rotation 6
autour de l’axe de la pince am` ene celle-ci ` a sa position finale. Ces six mouvements
correspondent aux six degr´ es de libert´ e du robot.
Regardons la diff´ erence entre le point Q de l’exemple 3.1 et la pince de notre robot.
Nous avons besoin de trois nombres pour sp´ ecifier la position de Q, alors que nous
en avons besoin de six pour sp´ ecifier la position de la pince. La pince est un exemple
de ce qu’on appelle un « solide » dans l’espace, et nous allons voir que nous aurons
toujours besoin de six nombres pour sp´ ecifier la position d’un solide dans l’espace. Pour
d´ evelopper notre intuition, nous allons commencer par nous concentrer sur le cas d’un
solide dans le plan.
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Fig. 3.1. Exemple d’un robot tridimensionnel avec six degr´ es de libert´ e
joignant l’origine `
a Q. R´ eciproquement, si on se donne une direction, c’est-` a-dire
une demi-droite issue de P , elle coupe la sph` ere centr´ ee en P de rayon 1 en un
point. On a une bijection entre les points de la sph` ere et les directions. Pour se
donner une direction, il suffit donc de pr´ eciser un point de la sph` ere. Ceci se fait
de mani` ere ´ economique en utilisant les coordonn´ ees sph´ eriques : les points de la
sph` ere de rayon 1 sont les points
(a, b, c) = (cos θ cos φ, sin θ cos φ, sin φ),
avec θ ∈ [0, 2π) et φ ∈ [−
π
2 ,
π
2 ]. Donc, les deux nombres θ et φ suffisent pour
d´ ecrire la position de l’axe de la pince.
• l’angle de la pince autour de son axe. En effet, la pince peut pivoter autour de son
axe par un mouvement de rotation, lequel est uniquement d´ etermin´ e par un angle
de rotation α.
Au total, on a eu besoin des six nombres (x, y, z, θ, φ, α) pour sp´ ecifier la position de la
pince du robot pour le travailleur. Par analogie avec l’exemple 3.1, on dira que le robot
de la figure 3.1 a six degr´ es de libert´ e. Les rotations 1, 2 et 3 am` enent P ` a sa position,
c’est-` a-dire permettent de r´ ealiser la position (x, y, z). Les rotations 4 et 5 placent l’axe
de la pince dans la bonne direction, soit la direction (a, b, c), alors que la rotation 6
autour de l’axe de la pince am` ene celle-ci ` a sa position finale. Ces six mouvements
correspondent aux six degr´ es de libert´ e du robot.
Regardons la diff´ erence entre le point Q de l’exemple 3.1 et la pince de notre robot.
Nous avons besoin de trois nombres pour sp´ ecifier la position de Q, alors que nous
en avons besoin de six pour sp´ ecifier la position de la pince. La pince est un exemple
de ce qu’on appelle un « solide » dans l’espace, et nous allons voir que nous aurons
toujours besoin de six nombres pour sp´ ecifier la position d’un solide dans l’espace. Pour
d´ evelopper notre intuition, nous allons commencer par nous concentrer sur le cas d’un
solide dans le plan.