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3 Les mouvements d’un robot
deux mouvements, on peut placer le deuxi` eme bras dans n’importe quelle direction.
Regardons le troisi` eme bras. Il peut ˆ etre actionn´ e par deux mouvements de rotation : la
rotation 3 s’effectue dans un plan, comme la deuxi` eme et, avec la rotation 4, le bras peut
tourner autour de son axe. L’articulation de l’´ epaule peut servir de mod` ele : on peut
lever le bras, ce qui est l’´ equivalent de la rotation 3, et on peut tourner le bras autour de
son axe, ce qui est l’´ equivalent de la rotation 4. (En pratique, l’articulation de l’´ epaule a
un troisi` eme mouvement ind´ ependant puisqu’on peut bouger le bras de gauche ` a droite ;
donc, elle est plus polyvalente que l’articulation entre nos bras de robot.) Finalement,
au bout du troisi` eme bras est attach´ ee une pince, elle aussi mue par deux rotations : la
rotation 5 agit dans un plan et change l’angle entre la pince et le troisi` eme bras, alors
que la pince tourne autour de son axe avec la rotation 6.
Pourquoi ce robot a-t-il ´ et´ e con¸ cu avec six mouvements de rotation ? Nous verrons
que ce n’est pas un hasard et que, si nous avions eu moins de mouvements de rotation,
notre robot aurait ´ et´ e tr` es limit´ e.
Prenons un exemple simple avec des translations.
Exemple 3.1 Soit P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un point de d´ epart dans l’espace. Regardons quelles
sont les positions Q que nous pouvons atteindre si nous permettons des translations de P
dans la direction des vecteurs unitaires v 1 = (a 1 , b 1 , c 1 ) et v 2 = (a 2 , b 2 , c 2 ). L’ensemble
des positions que nous pouvons atteindre est
{Q = P + t 1 v 1 + t 2 v 2 | t 1 , t 2 ∈ R}.
Cet ensemble est un plan passant par P si v 1 = ±v 2 . (Exercice : pouvez-vous le montrer ?)
Par contre, si on rajoute des translations dans la direction d’un troisi` eme vecteur
unitaire v 3 choisi tel que {v 1 , v 2 , v 3 } soient lin´ eairement ind´ ependants, alors l’ensemble
des positions Q que nous pouvons atteindre est tout l’espace.
Pourquoi nous a-t-il fallu trois directions de translation ? Parce que la « dimension »
du probl` eme est trois. Ce qui se traduit en pratique par le fait qu’il nous faut trois
nombres pour sp´ ecifier la position de Q. On dira que le probl` eme a trois degr´ es de
libert´ e.
Essayons d’adapter cette id´ ee ` a notre robot : de combien de nombres avons-nous
besoin pour d´ ecrire sa position ? Pour un travailleur qui veut utiliser le robot pour saisir
un objet, l’important est de bien positionner la pince. Il choisit donc :
• la position de P . Elle est d´ efinie par les trois coordonn´ ees (x, y, z) de P dans
l’espace.
• la direction de l’axe de la pince. On peut se donner une direction en se donnant un
vecteur. A priori, on semble avoir besoin de trois nombres. Cependant, il existe une
infinit´ e de vecteurs qui sp´ ecifient une mˆ eme direction, ` a savoir tous les multiples
d’un mˆ eme vecteur. Une mani` ere plus ´ economique de se donner une direction est
d’imaginer une sph` ere de rayon 1 centr´ ee ` a l’origine (ici notre point P ) et de
se donner un point Q de la sph` ere. La direction est alors donn´ ee par le vecteur
3 Les mouvements d’un robot
deux mouvements, on peut placer le deuxi` eme bras dans n’importe quelle direction.
Regardons le troisi` eme bras. Il peut ˆ etre actionn´ e par deux mouvements de rotation : la
rotation 3 s’effectue dans un plan, comme la deuxi` eme et, avec la rotation 4, le bras peut
tourner autour de son axe. L’articulation de l’´ epaule peut servir de mod` ele : on peut
lever le bras, ce qui est l’´ equivalent de la rotation 3, et on peut tourner le bras autour de
son axe, ce qui est l’´ equivalent de la rotation 4. (En pratique, l’articulation de l’´ epaule a
un troisi` eme mouvement ind´ ependant puisqu’on peut bouger le bras de gauche ` a droite ;
donc, elle est plus polyvalente que l’articulation entre nos bras de robot.) Finalement,
au bout du troisi` eme bras est attach´ ee une pince, elle aussi mue par deux rotations : la
rotation 5 agit dans un plan et change l’angle entre la pince et le troisi` eme bras, alors
que la pince tourne autour de son axe avec la rotation 6.
Pourquoi ce robot a-t-il ´ et´ e con¸ cu avec six mouvements de rotation ? Nous verrons
que ce n’est pas un hasard et que, si nous avions eu moins de mouvements de rotation,
notre robot aurait ´ et´ e tr` es limit´ e.
Prenons un exemple simple avec des translations.
Exemple 3.1 Soit P = (x 0 , y 0 , z 0 ) un point de d´ epart dans l’espace. Regardons quelles
sont les positions Q que nous pouvons atteindre si nous permettons des translations de P
dans la direction des vecteurs unitaires v 1 = (a 1 , b 1 , c 1 ) et v 2 = (a 2 , b 2 , c 2 ). L’ensemble
des positions que nous pouvons atteindre est
{Q = P + t 1 v 1 + t 2 v 2 | t 1 , t 2 ∈ R}.
Cet ensemble est un plan passant par P si v 1 = ±v 2 . (Exercice : pouvez-vous le montrer ?)
Par contre, si on rajoute des translations dans la direction d’un troisi` eme vecteur
unitaire v 3 choisi tel que {v 1 , v 2 , v 3 } soient lin´ eairement ind´ ependants, alors l’ensemble
des positions Q que nous pouvons atteindre est tout l’espace.
Pourquoi nous a-t-il fallu trois directions de translation ? Parce que la « dimension »
du probl` eme est trois. Ce qui se traduit en pratique par le fait qu’il nous faut trois
nombres pour sp´ ecifier la position de Q. On dira que le probl` eme a trois degr´ es de
libert´ e.
Essayons d’adapter cette id´ ee ` a notre robot : de combien de nombres avons-nous
besoin pour d´ ecrire sa position ? Pour un travailleur qui veut utiliser le robot pour saisir
un objet, l’important est de bien positionner la pince. Il choisit donc :
• la position de P . Elle est d´ efinie par les trois coordonn´ ees (x, y, z) de P dans
l’espace.
• la direction de l’axe de la pince. On peut se donner une direction en se donnant un
vecteur. A priori, on semble avoir besoin de trois nombres. Cependant, il existe une
infinit´ e de vecteurs qui sp´ ecifient une mˆ eme direction, ` a savoir tous les multiples
d’un mˆ eme vecteur. Une mani` ere plus ´ economique de se donner une direction est
d’imaginer une sph` ere de rayon 1 centr´ ee ` a l’origine (ici notre point P ) et de
se donner un point Q de la sph` ere. La direction est alors donn´ ee par le vecteur