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Les mouvements d’un robot
Ce chapitre peut se traiter en une semaine de cours. On commence la premi` ere heure
en d´ ecrivant le robot de la figure 3.1. On insiste sur la notion de « dimension » du
probl` eme (ou nombre de degr´ es de libert´ e), en illustrant le concept par des exemples
plus simples. Assez rapidement, on se concentre sur les rotations dans l’espace et leur
repr´ esentation par des matrices orthogonales dans des bases orthonorm´ ees en ´ enon¸ cant
et examinant les principaux r´ esultats de la section 3.3. La derni` ere heure est consacr´ ee
enti` erement ` a la pr´ esentation des sept rep` eres associ´ es au robot de la figure 3.1 et
au calcul de la position des diff´ erentes articulations dans les diff´ erents rep` eres (section 3.5). Puisqu’il faut garder toute une heure pour cette partie, on ne peut traiter
toute la partie sur les transformations orthogonales et faire tous les d´ etails du th´ eor` eme
fondamental (th´ eor` eme 3.20) ´ enon¸ cant que toute transformation orthogonale dans R
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de d´ eterminant 1 est une rotation. On doit se contenter d’´ enoncer et d’illustrer les
principaux r´ esultats. Le message important est que choisir une base ad´ equate permet
de comprendre et de visualiser ad´ equatement la transformation. Le choix du mat´ eriel
pr´ esent´ e sur les transformations orthogonales d´ epend de la pr´ eparation des ´ etudiants
en alg` ebre lin´ eaire. On peut d´ ecider de seulement travailler `
a partir d’exemples, ou
encore, de faire quelques preuves.
3.1 Introduction
Regardons le robot tridimensionnel de la figure 3.1. Il est compos´ e de trois bras,
puis d’une pince. Sur la figure, on a repr´ esent´ e six mouvements de rotation num´ erot´ es
de 1 `
a 6. Le robot est attach´ e ` a un mur. Le premier bras du robot est perpendiculaire
au mur. Par contre, il peut pivoter autour de son axe par la rotation 1. Au bout du
premier bras est attach´ e un deuxi` eme bras. Une articulation permet de changer l’angle
entre les deux bras. Cette articulation, semblable `
a celle du coude, ne fonctionne que
dans un plan (rotation 2). Mais, si on la combine avec la rotation 1, on voit que ce
plan de l’articulation tourne autour du premier bras. Finalement, en combinant ces
Les mouvements d’un robot
Ce chapitre peut se traiter en une semaine de cours. On commence la premi` ere heure
en d´ ecrivant le robot de la figure 3.1. On insiste sur la notion de « dimension » du
probl` eme (ou nombre de degr´ es de libert´ e), en illustrant le concept par des exemples
plus simples. Assez rapidement, on se concentre sur les rotations dans l’espace et leur
repr´ esentation par des matrices orthogonales dans des bases orthonorm´ ees en ´ enon¸ cant
et examinant les principaux r´ esultats de la section 3.3. La derni` ere heure est consacr´ ee
enti` erement ` a la pr´ esentation des sept rep` eres associ´ es au robot de la figure 3.1 et
au calcul de la position des diff´ erentes articulations dans les diff´ erents rep` eres (section 3.5). Puisqu’il faut garder toute une heure pour cette partie, on ne peut traiter
toute la partie sur les transformations orthogonales et faire tous les d´ etails du th´ eor` eme
fondamental (th´ eor` eme 3.20) ´ enon¸ cant que toute transformation orthogonale dans R
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de d´ eterminant 1 est une rotation. On doit se contenter d’´ enoncer et d’illustrer les
principaux r´ esultats. Le message important est que choisir une base ad´ equate permet
de comprendre et de visualiser ad´ equatement la transformation. Le choix du mat´ eriel
pr´ esent´ e sur les transformations orthogonales d´ epend de la pr´ eparation des ´ etudiants
en alg` ebre lin´ eaire. On peut d´ ecider de seulement travailler `
a partir d’exemples, ou
encore, de faire quelques preuves.
3.1 Introduction
Regardons le robot tridimensionnel de la figure 3.1. Il est compos´ e de trois bras,
puis d’une pince. Sur la figure, on a repr´ esent´ e six mouvements de rotation num´ erot´ es
de 1 `
a 6. Le robot est attach´ e ` a un mur. Le premier bras du robot est perpendiculaire
au mur. Par contre, il peut pivoter autour de son axe par la rotation 1. Au bout du
premier bras est attach´ e un deuxi` eme bras. Une articulation permet de changer l’angle
entre les deux bras. Cette articulation, semblable `
a celle du coude, ne fonctionne que
dans un plan (rotation 2). Mais, si on la combine avec la rotation 1, on voit que ce
plan de l’articulation tourne autour du premier bras. Finalement, en combinant ces