3.3 Interpolation
87
−1
−0.5
0
0.5
1
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
Figure 3.7. Effet de perturbations sur l’interpolation de Lagrange en des
noeuds équirépartis. Π21f (trait plein) est le polynôme d’interpolation exact,
Π21 ˆ
f (trait discontinu) est le polynôme perturbé de l’Exemple 3.3
le conditionnement du problème d’interpolation. Pour l’interpolation de
Lagrange en des noeuds équirépartis
Λ n (x)
2
n+1
en(log n + γ)
,
(3.10)
où e 2.71834 est appelé nombre de Neper (ou d’Euler), et γ 0.547721
est la constante d’Euler (voir [Hes98] et [Nat65]).
Quand n est grand, l’interpolation de Lagrange sur des noeuds équirépartis peut donc être instable, comme on peut le voir dans l’exemple
suivant (voir aussi l’Exercice 3.8).
Exemple 3.3 Pour interpoler f (x) = sin(2πx) en 22 noeuds équirépartis sur
l’intervalle [−1, 1], on calcule les valeurs ˆ
f (xi) en perturbant aléatoirement les
valeurs exactes f (xi), de sorte que
max
i=0,...,21
|f (xi) − ˆ
f (xi)| | 9.5 · 10
−4 .
Sur la Figure 3.7, on compare les deux polynômes d’interpolation Π21f et
Π21 ˆ
f . On remarque que la différence entre ces polynômes est bien plus grande
que la perturbation des données. Plus précisément max
x∈I
|Πnf (x) − Πn ˆ
f(x)| |
3.1342, et l’écart est particulièrement important aux extrémités de l’intervalle.
Remarquer que dans cet exemple la constante de Lebesgue est très grande :
Λ21(x) 20574.
Voir les Exercices 3.1–3.4.
3.3.3 Interpolation aux noeuds de Chebyshev
On peut éviter le phénomène de Runge en choisissant correctement la
distribution des noeuds d’interpolation. Sur un intervalle [a, b], on peut
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Figure 3.7. Effet de perturbations sur l’interpolation de Lagrange en des
noeuds équirépartis. Π21f (trait plein) est le polynôme d’interpolation exact,
Π21 ˆ
f (trait discontinu) est le polynôme perturbé de l’Exemple 3.3
le conditionnement du problème d’interpolation. Pour l’interpolation de
Lagrange en des noeuds équirépartis
Λ n (x)
2
n+1
en(log n + γ)
,
(3.10)
où e 2.71834 est appelé nombre de Neper (ou d’Euler), et γ 0.547721
est la constante d’Euler (voir [Hes98] et [Nat65]).
Quand n est grand, l’interpolation de Lagrange sur des noeuds équirépartis peut donc être instable, comme on peut le voir dans l’exemple
suivant (voir aussi l’Exercice 3.8).
Exemple 3.3 Pour interpoler f (x) = sin(2πx) en 22 noeuds équirépartis sur
l’intervalle [−1, 1], on calcule les valeurs ˆ
f (xi) en perturbant aléatoirement les
valeurs exactes f (xi), de sorte que
max
i=0,...,21
|f (xi) − ˆ
f (xi)| | 9.5 · 10
−4 .
Sur la Figure 3.7, on compare les deux polynômes d’interpolation Π21f et
Π21 ˆ
f . On remarque que la différence entre ces polynômes est bien plus grande
que la perturbation des données. Plus précisément max
x∈I
|Πnf (x) − Πn ˆ
f(x)| |
3.1342, et l’écart est particulièrement important aux extrémités de l’intervalle.
Remarquer que dans cet exemple la constante de Lebesgue est très grande :
Λ21(x) 20574.
Voir les Exercices 3.1–3.4.
3.3.3 Interpolation aux noeuds de Chebyshev
On peut éviter le phénomène de Runge en choisissant correctement la
distribution des noeuds d’interpolation. Sur un intervalle [a, b], on peut