88
3 Approximation de fonctions et de données
−5
−3
−1
1
3
5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
−1 =
x0
xn = 1
xi
π/n
0
Figure 3.8. L’image de gauche montre une comparaison entre la fonction
f (x) = 1/(1 + x
2 ) (trait plein fin) et ses polynômes d’interpolation de degré 8 (trait discontinu) et 12 (trait plein) aux noeuds de Chebyshev-GaussLobatto. Remarquer que l’amplitude des oscillations parasites décroît quand le
degré croît. L’image de droite montre la distribution des noeuds de ChebyshevGauss-Lobatto sur l’intervalle [−1, 1]
par exemple considérer les noeuds de Chebyshev-Gauss-Lobatto (voir Figure 3.8, à droite)
x i =
a + b
2
+
b − a
2
x i , où
x i = − cos(πi/n), i = 0, . . . , n
(3.11)
On a bien sûr x i =
x i , i = 0, . . . , n, quand [a, b] = [−1, 1].
Pour cette distribution particulière de noeuds, il est possible de montrer
que, si f est dérivable sur [a, b], alors Π n f converge vers f quand n → ∞
pour tout x ∈ [a, b].
Les noeuds de Chebyshev-Gauss-Lobatto, qui sont les abscisses des
noeuds équirépartis sur le demi-cercle unité, se trouvent à l’intérieur de
[a, b] et sont regroupés près des extrémités de l’intervalle (voir Figure 3.8,
à droite).
Une autre distribution non uniforme dans l’intervalle ]a, b[, possédant
les mêmes propriétés de convergence que les noeuds de Chebyshev-GaussLobatto, est définie par les noeuds de Chebyshev-Gauss
x i =
a + b
2
−
b − a
2
cos
2i + 1
n + 1
π
2
, i = 0, . . . , n
(3.12)
Exemple 3.4 On considère à nouveau la fonction f de l’exemple de Runge
et on calcule son polynôme d’interpolation aux noeuds de Chebyshev-GaussLobatto. Ces derniers peuvent être obtenus avec les instructions MATLAB
suivantes :
xc = -cos(pi*[0:n]/n); x = (a+b)*0.5+( b -a )* xc *0.5;