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3 Approximation de fonctions et de données
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
−3.5
−3.4
−3.3
−3.2
−3.1
−3
−2.9
−2.8
−2.7
−5
−3
−1
1
3
5
−4
−3
−2
−1
0
1
2
Figure 3.6. Deux exemples du phénomène de Runge : à gauche, Π12 calculé
avec les données de la Table 3.1, colonne K = 0.67 ; à droite, Π12f (trait plein)
calculé avec 13 noeuds équidistants pour la fonction f (x) = 1/(1 + x
2 ) (trait
discontinu)
Dans MATLAB, (Π n f)
peut être calculé avec [d]=polyder(c), où
polyder
c est le vecteur d’entrée contenant les coefficients du polynôme d’interpolation, et d est le vecteur de sortie contenant les coefficients de sa
dérivée première (voir Section 1.5.2).
3.3.2 Stabilité de l’interpolation polynomiale
Qu’arrive-t-il aux polynômes d’interpolation si, au lieu des valeurs
exactes f(x i ), on considère des valeurs perturbées ˆ
f (x i ), i = 0, . . ., n ?
Ces perturbations peuvent provenir d’erreurs d’arrondi ou d’incertitudes
dans les mesures.
Soit Π n ˆ
f le polynôme exact interpolant les valeurs ˆ
f (x i ). En notant
x le vecteur dont les composantes sont les noeuds d’interpolation {x i },
on a
max
x∈I
|Π n f(x) − Π n ˆ
f(x)| = max
x∈I
n
i=0
f(x i ) − ˆ
f (x i )
ϕ i (x)
≤ Λ n (x) max
0≤i≤n
f(xi) − ˆ
f (x i )
(3.8)
où
Λ n (x) = max
x∈I
n
i=0
|ϕ i (x)| ,
(3.9)
est appelée constante de Lebesgue (noter que cette constante dépend des
noeuds d’interpolation). Des petites perturbations sur les valeurs nodales
f(x i ) entraînent des petites variations sur le polynôme d’interpolation
quand la constante de Lebesgue est petite. La constante Λ n mesure donc
3 Approximation de fonctions et de données
−60
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−20
0
20
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−3.5
−3.4
−3.3
−3.2
−3.1
−3
−2.9
−2.8
−2.7
−5
−3
−1
1
3
5
−4
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−2
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0
1
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Figure 3.6. Deux exemples du phénomène de Runge : à gauche, Π12 calculé
avec les données de la Table 3.1, colonne K = 0.67 ; à droite, Π12f (trait plein)
calculé avec 13 noeuds équidistants pour la fonction f (x) = 1/(1 + x
2 ) (trait
discontinu)
Dans MATLAB, (Π n f)
peut être calculé avec [d]=polyder(c), où
polyder
c est le vecteur d’entrée contenant les coefficients du polynôme d’interpolation, et d est le vecteur de sortie contenant les coefficients de sa
dérivée première (voir Section 1.5.2).
3.3.2 Stabilité de l’interpolation polynomiale
Qu’arrive-t-il aux polynômes d’interpolation si, au lieu des valeurs
exactes f(x i ), on considère des valeurs perturbées ˆ
f (x i ), i = 0, . . ., n ?
Ces perturbations peuvent provenir d’erreurs d’arrondi ou d’incertitudes
dans les mesures.
Soit Π n ˆ
f le polynôme exact interpolant les valeurs ˆ
f (x i ). En notant
x le vecteur dont les composantes sont les noeuds d’interpolation {x i },
on a
max
x∈I
|Π n f(x) − Π n ˆ
f(x)| = max
x∈I
n
i=0
f(x i ) − ˆ
f (x i )
ϕ i (x)
≤ Λ n (x) max
0≤i≤n
f(xi) − ˆ
f (x i )
(3.8)
où
Λ n (x) = max
x∈I
n
i=0
|ϕ i (x)| ,
(3.9)
est appelée constante de Lebesgue (noter que cette constante dépend des
noeuds d’interpolation). Des petites perturbations sur les valeurs nodales
f(x i ) entraînent des petites variations sur le polynôme d’interpolation
quand la constante de Lebesgue est petite. La constante Λ n mesure donc