3.3 Interpolation
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vers l’infini quand n → ∞. Ceci est lié au fait que, quand n → ∞, la quantité
maxx∈I |f
(n+1) (x)| tend plus vite vers l’infini que h
n+1 /[4(n + 1)] tend vers
zéro. Ceci peut être vérifié en calculant le maximum de f et de ses dérivées
jusqu’à l’ordre 21 avec les instructions suivantes :
syms x; n =20; f =1/(1+ x ^2); df= diff (f ,1);
cdf = char ( df );
for i = 1:n +1 , df = diff (df ,1); cdfn = char ( df );
x = fzero ( cdfn ,0); M( i) = abs ( eval ( cdf )); cdf = cdfn ;
end
Les maximums des valeurs absolues des fonctions f
(n) , n = 1, . . . , 21, sont
stockées dans le vecteur M. Remarquer que la commande char convertit l’expression symbolique df en une chaîne qui peut être évaluée par la fonction fzero. En particulier, les maximums des valeurs absolues de f
(n) pour
n = 3, 9, 15, 21 sont :
format short e; M ([3 ,9 ,15 ,21])
ans =
4.6686e+00
3.2426e+05
1.2160e+12
4.8421e+19
tandis que les valeurs correspondantes du maximum de
n
i=0
(x − xi)/(n + 1)!
sont :
z = linspace ( -5 ,5 ,10000);
for n =0:20; h =10/( n +1); x =[ -5:h :5];
c = poly ( x ); r( n +1)= max( polyval (c ,z ));
r (n +1)= r( n +1)/ prod ([1: n +1]);
end
r ([3 ,9 ,15 ,21])
ans =
1.1574e+01
5.1814e-02
1.3739e-05
4.7247e-10
où c=poly(x) est un vecteur dont les composantes sont les coefficients du poly
polynôme dont les racines sont les composantes du vecteur x. Il s’en suit que
maxx∈I |Enf (x)| atteint les valeurs suivantes :
5.4034e+01
1.6801e+04
1.6706e+07
2.2877e+10
pour n = 3, 9, 15, 21, respectivement.
Cette absence de convergence est également mise en évidence par les fortes
oscillations observées sur le graphe du polynôme d’interpolation (absentes sur
le graphe de f ), particulièrement au voisinage des extrémités de l’intervalle
(voir Figure 3.6, à droite). Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de Runge.
On peut aussi montrer l’inégalité suivante
max
x∈I
|f
(x) − (Π n f)
(x)| ≤ Ch
n max
x∈I
|f
(n+1) (x)|,
où C est une constante indépendante de h. Ainsi, en approchant la dérivée première de f par la dérivée première de Π n f, on perd un ordre de
convergence en h.
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vers l’infini quand n → ∞. Ceci est lié au fait que, quand n → ∞, la quantité
maxx∈I |f
(n+1) (x)| tend plus vite vers l’infini que h
n+1 /[4(n + 1)] tend vers
zéro. Ceci peut être vérifié en calculant le maximum de f et de ses dérivées
jusqu’à l’ordre 21 avec les instructions suivantes :
syms x; n =20; f =1/(1+ x ^2); df= diff (f ,1);
cdf = char ( df );
for i = 1:n +1 , df = diff (df ,1); cdfn = char ( df );
x = fzero ( cdfn ,0); M( i) = abs ( eval ( cdf )); cdf = cdfn ;
end
Les maximums des valeurs absolues des fonctions f
(n) , n = 1, . . . , 21, sont
stockées dans le vecteur M. Remarquer que la commande char convertit l’expression symbolique df en une chaîne qui peut être évaluée par la fonction fzero. En particulier, les maximums des valeurs absolues de f
(n) pour
n = 3, 9, 15, 21 sont :
format short e; M ([3 ,9 ,15 ,21])
ans =
4.6686e+00
3.2426e+05
1.2160e+12
4.8421e+19
tandis que les valeurs correspondantes du maximum de
n
i=0
(x − xi)/(n + 1)!
sont :
z = linspace ( -5 ,5 ,10000);
for n =0:20; h =10/( n +1); x =[ -5:h :5];
c = poly ( x ); r( n +1)= max( polyval (c ,z ));
r (n +1)= r( n +1)/ prod ([1: n +1]);
end
r ([3 ,9 ,15 ,21])
ans =
1.1574e+01
5.1814e-02
1.3739e-05
4.7247e-10
où c=poly(x) est un vecteur dont les composantes sont les coefficients du poly
polynôme dont les racines sont les composantes du vecteur x. Il s’en suit que
maxx∈I |Enf (x)| atteint les valeurs suivantes :
5.4034e+01
1.6801e+04
1.6706e+07
2.2877e+10
pour n = 3, 9, 15, 21, respectivement.
Cette absence de convergence est également mise en évidence par les fortes
oscillations observées sur le graphe du polynôme d’interpolation (absentes sur
le graphe de f ), particulièrement au voisinage des extrémités de l’intervalle
(voir Figure 3.6, à droite). Ce comportement est connu sous le nom de phénomène de Runge.
On peut aussi montrer l’inégalité suivante
max
x∈I
|f
(x) − (Π n f)
(x)| ≤ Ch
n max
x∈I
|f
(n+1) (x)|,
où C est une constante indépendante de h. Ainsi, en approchant la dérivée première de f par la dérivée première de Π n f, on perd un ordre de
convergence en h.