84
3 Approximation de fonctions et de données
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
−3.45
−3.35
−3.25
−3.15
−3.05
−2.95
Figure 3.5. Le polynôme d’interpolation de degré 4 introduit dans l’Exemple
3.1
Evidemment, E n f(x i ) = 0, i = 0, . . ., n.
Le résultat (3.5) peut être précisé dans le cas d’une distribution uniforme de noeuds, c’est-à-dire quand x i = x i−1 + h avec i = 1, . . ., n,
h > 0 et x 0 donnés. On établit dans l’Exercice 3.1 que, ∀x ∈]x 0 , x n [,
n
i=0
(x − x i )
≤ n!
h
n+1
4
,
(3.6)
et donc
max
x∈I
|E n f(x)| ≤
max
x∈I
|f
(n+1) (x)|
4(n + 1)
h
n+1 .
(3.7)
Malheureusement, on ne peut pas déduire de (3.7) que l’erreur tend
vers 0 quand n → ∞, bien que h
n+1 /[4(n + 1)] tende effectivement vers
0. En fait, comme le montre l’Exemple 3.2, il existe même des fonctions
f pour lesquelles la limite peut être infinie, c’est-à-dire
lim
n→∞
max
x∈I
|E n f(x)| = ∞.
Ce résultat frappant indique qu’en augmentant le degré n du polynôme d’interpolation, on n’obtient pas nécessairement une meilleure
reconstruction de f. Par exemple, en utilisant toutes les données de la
deuxième colonne de la Table 3.1, on obtient le polynôme d’interpolation
Π 12 f représenté sur la Figure 3.6, à gauche. On voit que le comportement de ce polynôme au voisinage de l’extrémité gauche de l’intervalle
est bien moins satisfaisant que celui obtenu sur la Figure 3.5 avec beaucoup moins de noeuds. On montre dans l’exemple suivant qu’on peut
avoir des résultats encore plus mauvais avec certains types de fonctions.
Exemple 3.2 (Runge) Si la fonction f (x) = 1/(1 + x
2 ) est interpolée en des
noeuds équidistants de l’intervalle I = [−5, 5], l’erreur maxx∈I |Enf (x)| tend
3 Approximation de fonctions et de données
−60
−40
−20
0
20
40
60
80
−3.45
−3.35
−3.25
−3.15
−3.05
−2.95
Figure 3.5. Le polynôme d’interpolation de degré 4 introduit dans l’Exemple
3.1
Evidemment, E n f(x i ) = 0, i = 0, . . ., n.
Le résultat (3.5) peut être précisé dans le cas d’une distribution uniforme de noeuds, c’est-à-dire quand x i = x i−1 + h avec i = 1, . . ., n,
h > 0 et x 0 donnés. On établit dans l’Exercice 3.1 que, ∀x ∈]x 0 , x n [,
n
i=0
(x − x i )
≤ n!
h
n+1
4
,
(3.6)
et donc
max
x∈I
|E n f(x)| ≤
max
x∈I
|f
(n+1) (x)|
4(n + 1)
h
n+1 .
(3.7)
Malheureusement, on ne peut pas déduire de (3.7) que l’erreur tend
vers 0 quand n → ∞, bien que h
n+1 /[4(n + 1)] tende effectivement vers
0. En fait, comme le montre l’Exemple 3.2, il existe même des fonctions
f pour lesquelles la limite peut être infinie, c’est-à-dire
lim
n→∞
max
x∈I
|E n f(x)| = ∞.
Ce résultat frappant indique qu’en augmentant le degré n du polynôme d’interpolation, on n’obtient pas nécessairement une meilleure
reconstruction de f. Par exemple, en utilisant toutes les données de la
deuxième colonne de la Table 3.1, on obtient le polynôme d’interpolation
Π 12 f représenté sur la Figure 3.6, à gauche. On voit que le comportement de ce polynôme au voisinage de l’extrémité gauche de l’intervalle
est bien moins satisfaisant que celui obtenu sur la Figure 3.5 avec beaucoup moins de noeuds. On montre dans l’exemple suivant qu’on peut
avoir des résultats encore plus mauvais avec certains types de fonctions.
Exemple 3.2 (Runge) Si la fonction f (x) = 1/(1 + x
2 ) est interpolée en des
noeuds équidistants de l’intervalle I = [−5, 5], l’erreur maxx∈I |Enf (x)| tend