3.3 Interpolation
81
Une telle fonction ˜
f est appelée fonction d’interpolation de l’ensemble
des données {y i } et les équations (3.1) sont les conditions d’interpolation.
On peut envisager divers types de fonctions d’interpolation, par
exemple :
- interpolation polynomiale
˜
f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x
2 + . . . + a n x
n ;
- interpolation trigonométrique
˜
f (x) = a −M e
−iM x + . . . + a 0 + . . . + a M e
iM x
où M est un entier égal à n/2 si n est pair, (n+1)/2 si n est impair,
et i est tel que i
2 = −1 ;
- interpolation rationnelle
˜
f (x) =
a 0 + a 1 x + . . . + a k x
k
a k+1 + a k+2 x + . . . + a k+n+1 x n .
Pour simplifier l’exposé, nous ne considérons que les fonctions d’interpolation qui dépendent linéairement des coefficients inconnus a i . Les
interpolations polynomiales et trigonométriques entrent dans cette catégorie, mais pas l’interpolation rationnelle.
3.3.1 Polynôme d’interpolation de Lagrange
Concentrons-nous sur l’interpolation polynomiale. On a le résultat suivant :
Proposition 3.1 Pour tout ensemble de couples {x i , y i }, i =
0, . . ., n, avec des noeuds distincts x i , il existe un unique polynôme
de degré inférieur ou égal à n, noté Π n et appelé polynôme d’interpolation des valeurs y i aux noeuds x i , tel que
Π n (x i ) = y i , i = 0, . . . , n
(3.2)
Dans le cas où les {y i , i = 0, . . . , n} représentent les valeurs atteintes
par une fonction continue f, Π n est appelé polynôme d’interpolation
de f (ou en abrégé, interpolant de f) et noté Π n f.
Vérifions l’unicité en raisonnant par l’absurde. Supposons qu’il existe
deux polynômes distincts de degré n, Π n et Π
∗
n , vérifiant tous les deux la
relation (3.2). Leur différence, Π n − Π
∗
n est alors un polynôme de degré
n qui s’annule en n + 1 points distincts. D’après un théorème bien connu