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3 Approximation de fonctions et de données
0
0.5
1
1.5
2
−0.6
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
x
Figure 3.4. Le polynôme ϕ2 ∈ P4 associé à un ensemble de 5 noeuds équirépartis
d’algèbre, on sait qu’un tel polynôme est identiquement nul, donc Π
∗
n et
Π n coïncident.
Pour établir l’expression de Π n , on commence par considérer le cas
particulier où y i = 0 pour i = k et y k = 1 (k étant fixé). En posant
ϕ k (x) = Π n (x), on doit donc avoir (voir Figure 3.4)
ϕ k ∈ P n , ϕ k (x j ) = δ jk =
1 si j = k,
0 sinon
(δ jk est le symbole de Kronecker).
Les fonctions ϕ k peuvent s’écrire ainsi
ϕ k (x) =
n
j=0
j =k
x − x j
x k − x j
, k = 0, . . . , n.
(3.3)
On considère à présent le cas général où {y i , i = 0, . . ., n} est un ensemble
de valeurs arbitraires. En utilisant un principe de superposition évident,
on obtient l’expression suivante de Π n
Π n (x) =
n
k=0
y k ϕ k (x)
(3.4)
En effet, ce polynôme satisfait les conditions d’interpolation (3.2), puisque
Π n (x i ) =
n
k=0
y k ϕ k (x i ) =
n
k=0
y k δ ik = y i , i = 0, . . . , n.
Les fonctions ϕ k sont appelées polynômes caractéristiques de Lagrange, et (3.4) est la forme de Lagrange du polynôme d’interpolation. En MATLAB, si les vecteurs x et y contiennent les n+1 couples