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3 Approximation de fonctions et de données
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
T
N
(x) =
(x − 1)
2 − x − (x − 1)
3 + (x − 1)
4 − (x − 1)
5 + (x − 1)
6 −...+ 2
Figure 3.3. Comparaison entre la fonction f (x) = 1/x (trait plein) et son
polynôme de Taylor de degré 10 au point x0 = 1 (trait discontinu). La forme
explicite du polynôme de Taylor est aussi indiquée
son polynôme de Taylor en x 0 = 0, à condition qu’il soit de degré assez
grand.
Au cours de ce chapitre, nous introduirons des méthodes d’approximation basées sur d’autres approches.
Octave 3.1 taylortool n’est pas disponible dans Octave.
3.3 Interpolation
Comme on l’a vu dans les Problèmes 3.1, 3.2 et 3.3, il arrive dans de
nombreuses applications qu’une fonction ne soit connue qu’à travers les
valeurs qu’elle prend en quelques points. On se trouve donc dans une
situation (générale) où n+1 couples de {x i , y i }, i = 0, . . ., n, sont donnés ;
les points x i sont tous distincts et sont appelés noeuds.
Par exemple, pour le cas de la Table 3.1, n est égal à 12, les noeuds
x i sont les valeurs de la latitude (première colonne), et les y i sont les
variations de température associées (dans les autres colonnes).
Dans cette situation il semble naturel d’imposer à la fonction approchée ˜
f de satisfaire les relations
˜
f (x i ) = y i , i = 0, 1, . . ., n
(3.1)