3.2 Approximation par polynômes de Taylor
79
A
L
ΔL
σ = F/A
F
= ΔL/L
Figure 3.2. Représentation schématique d’un disque vertébral
Table 3.2. Valeurs de la déformation pour différentes valeurs de la contrainte
appliquée à un disque vertébral (d’après P.Komarek, Chap. 2, Biomechanics
of Clinical Aspects of Biomedicine, 1993, J.Valenta ed., Elsevier)
Test i Contrainte σ Déformation Test i Contrainte σ Déformation
1
0.00
0.00
5
0.31
0.23
2
0.06
0.08
6
0.47
0.25
3
0.14
0.14
7
0.60
0.28
4
0.25
0.20
8
0.70
0.29
Problème 3.4 (Robotique) On veut approcher la trajectoire plane
d’un robot industriel (assimilé à un point matériel) durant un cycle de
travail. Le robot doit satisfaire quelques contraintes : il doit être à l’arrêt
au point (0, 0) au temps initial (t = 0), se déplacer jusqu’au point (1, 2)
à t = 1, atteindre le point (4, 4) à t = 2, s’arrêter et repartir immédiatement pour atteindre le point (3, 1) à t = 3, revenir à sa position initiale
à t = 5, s’arrêter et repartir pour un nouveau cycle. Dans l’Exemple 3.9,
nous résoudrons ce problème avec des fonction splines.
3.2 Approximation par polynômes de Taylor
On sait qu’on peut approcher une fonction f par son polynôme de Taylor
(introduit à la Section 1.5.3) dans un intervalle donné. Cette technique
est très coûteuse car elle nécessite la connaissance de f et de ses dérivées
jusqu’à l’ordre n (le degré du polynôme) en un point x 0 . De plus, il se
peut que le polynôme de Taylor approche très mal f quand on s’éloigne
de x 0 . Par exemple, nous comparons sur la Figure 3.3, le comportement
de f(x) = 1/x et celui de son polynôme de Taylor de degré 10 construit
au point x 0 = 1. Cette image montre aussi l’interface graphique de la
fonction MATLAB taylortool qui permet le calcul d’un polynôme taylortool
de Taylor de degré arbitraire pour toute fonction f. La concordance
entre la fonction et son polynôme de Taylor est très bonne dans un petit
voisinage de x 0 = 1, mais elle se dégrade quand x − x 0 devient grand.
Heureusement, ce n’est pas le cas de toutes les fonctions : par exemple,
l’exponentielle est assez correctement approchée pour tous les x ∈ R par
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A
L
ΔL
σ = F/A
F
= ΔL/L
Figure 3.2. Représentation schématique d’un disque vertébral
Table 3.2. Valeurs de la déformation pour différentes valeurs de la contrainte
appliquée à un disque vertébral (d’après P.Komarek, Chap. 2, Biomechanics
of Clinical Aspects of Biomedicine, 1993, J.Valenta ed., Elsevier)
Test i Contrainte σ Déformation Test i Contrainte σ Déformation
1
0.00
0.00
5
0.31
0.23
2
0.06
0.08
6
0.47
0.25
3
0.14
0.14
7
0.60
0.28
4
0.25
0.20
8
0.70
0.29
Problème 3.4 (Robotique) On veut approcher la trajectoire plane
d’un robot industriel (assimilé à un point matériel) durant un cycle de
travail. Le robot doit satisfaire quelques contraintes : il doit être à l’arrêt
au point (0, 0) au temps initial (t = 0), se déplacer jusqu’au point (1, 2)
à t = 1, atteindre le point (4, 4) à t = 2, s’arrêter et repartir immédiatement pour atteindre le point (3, 1) à t = 3, revenir à sa position initiale
à t = 5, s’arrêter et repartir pour un nouveau cycle. Dans l’Exemple 3.9,
nous résoudrons ce problème avec des fonction splines.
3.2 Approximation par polynômes de Taylor
On sait qu’on peut approcher une fonction f par son polynôme de Taylor
(introduit à la Section 1.5.3) dans un intervalle donné. Cette technique
est très coûteuse car elle nécessite la connaissance de f et de ses dérivées
jusqu’à l’ordre n (le degré du polynôme) en un point x 0 . De plus, il se
peut que le polynôme de Taylor approche très mal f quand on s’éloigne
de x 0 . Par exemple, nous comparons sur la Figure 3.3, le comportement
de f(x) = 1/x et celui de son polynôme de Taylor de degré 10 construit
au point x 0 = 1. Cette image montre aussi l’interface graphique de la
fonction MATLAB taylortool qui permet le calcul d’un polynôme taylortool
de Taylor de degré arbitraire pour toute fonction f. La concordance
entre la fonction et son polynôme de Taylor est très bonne dans un petit
voisinage de x 0 = 1, mais elle se dégrade quand x − x 0 devient grand.
Heureusement, ce n’est pas le cas de toutes les fonctions : par exemple,
l’exponentielle est assez correctement approchée pour tous les x ∈ R par