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Table des matières
2.4 Méthode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Test d’arrêt des itérations de point fixe . . . . . . . . . . 62
2.5 Accélération par la méthode d’Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.1 Algorithme de Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.2 Méthode de Newton-Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Approximation de fonctions et de données . . . . . . . . . . . . 77
3.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Approximation par polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Stabilité de l’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . 86
3.3.3 Interpolation aux noeuds de Chebyshev . . . . . . . . . 87
3.3.4 Interpolation trigonométrique et FFT . . . . . . . . . . . 90
3.4 Interpolation linéaire par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Approximation par fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Intégration et différentiation numérique . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Approximation des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.1 Formule du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2 Formule du trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.3 Formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Quadratures interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Formule de Simpson adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Systèmes linéaires et complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5 Quelle est la précision de la solution d’un système
linéaire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Comment résoudre un système tridiagonal . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Systèmes sur-déterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 Ce qui se cache sous la commande MATLAB \ . . . . . . . . 157
Table des matières
2.4 Méthode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2.4.1 Test d’arrêt des itérations de point fixe . . . . . . . . . . 62
2.5 Accélération par la méthode d’Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.6.1 Algorithme de Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.6.2 Méthode de Newton-Hörner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.7 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Approximation de fonctions et de données . . . . . . . . . . . . 77
3.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.2 Approximation par polynômes de Taylor . . . . . . . . . . . . . . 79
3.3 Interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.3.1 Polynôme d’interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . 81
3.3.2 Stabilité de l’interpolation polynomiale . . . . . . . . . . 86
3.3.3 Interpolation aux noeuds de Chebyshev . . . . . . . . . 87
3.3.4 Interpolation trigonométrique et FFT . . . . . . . . . . . 90
3.4 Interpolation linéaire par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
3.5 Approximation par fonctions splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
3.6 La méthode des moindres carrés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.7 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
3.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4 Intégration et différentiation numérique . . . . . . . . . . . . . . 109
4.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
4.2 Approximation des dérivées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
4.3 Intégration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
4.3.1 Formule du point milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.3.2 Formule du trapèze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
4.3.3 Formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.4 Quadratures interpolatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
4.5 Formule de Simpson adaptative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
4.6 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
4.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
5 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
5.2 Systèmes linéaires et complexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
5.3 Factorisation LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
5.4 Méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
5.5 Quelle est la précision de la solution d’un système
linéaire ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
5.6 Comment résoudre un système tridiagonal . . . . . . . . . . . . . 153
5.7 Systèmes sur-déterminés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
5.8 Ce qui se cache sous la commande MATLAB \ . . . . . . . . 157