Table des matières
XI
5.9 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.9.1 Comment construire une méthode itérative . . . . . . 161
5.10 Méthode de Richardson et du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.11 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.12 Quand doit-on arrêter une méthode itérative ? . . . . . . . . . . 172
5.13 Pour finir : méthode directe ou itérative ? . . . . . . . . . . . . . . 174
5.14 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2 Méthode de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.1 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3 Généralisation de la méthode de la puissance . . . . . . . . . . . 192
6.4 Comment calculer le décalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.5 Calcul de toutes les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.6 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7 Equations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3 Méthodes d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.3.1 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4 Méthode de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5 Zéro-stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.6.1 Région de stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.6.2 La stabilité absolue contrôle les perturbations . . . . 224
7.7 Méthodes d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.8 Méthodes prédicteur-correcteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.9 Systèmes d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.10 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.10.1 Le pendule sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.10.2 Le problème à trois corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.10.3 Des problèmes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.11 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8 Approximation numérique des problèmes aux limites . 261
8.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.2 Approximation de problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . 264
8.2.1 Approximation par différences finies du problème
de Poisson monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
XI
5.9 Méthodes itératives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.9.1 Comment construire une méthode itérative . . . . . . 161
5.10 Méthode de Richardson et du gradient . . . . . . . . . . . . . . . . 165
5.11 Méthode du gradient conjugué . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.12 Quand doit-on arrêter une méthode itérative ? . . . . . . . . . . 172
5.13 Pour finir : méthode directe ou itérative ? . . . . . . . . . . . . . . 174
5.14 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
5.15 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
6 Valeurs propres et vecteurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
6.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
6.2 Méthode de la puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
6.2.1 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
6.3 Généralisation de la méthode de la puissance . . . . . . . . . . . 192
6.4 Comment calculer le décalage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
6.5 Calcul de toutes les valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
6.6 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
7 Equations différentielles ordinaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
7.2 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
7.3 Méthodes d’Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
7.3.1 Analyse de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.4 Méthode de Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
7.5 Zéro-stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
7.6 Stabilité sur des intervalles non bornés . . . . . . . . . . . . . . . . 221
7.6.1 Région de stabilité absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
7.6.2 La stabilité absolue contrôle les perturbations . . . . 224
7.7 Méthodes d’ordre élevé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
7.8 Méthodes prédicteur-correcteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
7.9 Systèmes d’équations différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
7.10 Quelques exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.10.1 Le pendule sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
7.10.2 Le problème à trois corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
7.10.3 Des problèmes raides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
7.11 Ce qu’on ne vous a pas dit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
7.12 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
8 Approximation numérique des problèmes aux limites . 261
8.1 Quelques problèmes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
8.2 Approximation de problèmes aux limites . . . . . . . . . . . . . . 264
8.2.1 Approximation par différences finies du problème
de Poisson monodimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265