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Approximation de fonctions et de données
Approcher une fonction f consiste à la remplacer par une autre fonction
˜
f dont la forme est plus simple et dont on peut se servir à la place de
f. On verra dans le prochain chapitre qu’on utilise fréquemment cette
stratégie en intégration numérique quand, au lieu de calculer
b
a
f(x)dx,
on calcule de manière exacte
b
a
˜
f (x)dx, où ˜
f est une fonction simple
à intégrer (p.ex. polynomiale). Dans d’autres contextes, la fonction f
peut n’être connue que par les valeurs qu’elle prend en quelques points
particuliers. Dans ce cas, on cherche à construire une fonction continue
˜
f représentant une loi empirique qui se cacherait derrière les données.
Commençons par quelques exemples qui illustrent ce type d’approche.
3.1 Quelques problèmes types
Problème 3.1 (Climatologie) La température moyenne de l’air au
voisinage du sol dépend de la concentration K en acide carbonique
(H 2 CO 3 ). Dans la Table 3.1, on donne la variation δ K = θ K − θ ¯
K de
la température moyenne par rapport à une température de référence ¯
K
pour différentes latitudes et pour quatre valeurs de K. La quantité ¯
K est
la valeur de K mesurée en 1896 et normalisée à un. On peut construire
une fonction qui, sur la base des données disponibles, permet d’approcher la température moyenne à une latitude quelconque et pour d’autres
valeurs de K (voir Exemple 3.1).
Problème 3.2 (Finance) Sur la Figure 3.1, nous traçons les prix d’une
action à la bourse de Zürich pendant deux années. La courbe a été obtenue en joignant par une ligne droite les cotations quotidiennes à la
clôture. Cette simple représentation suppose implicitement que les prix
varient linéairement au cours de la journée (cette approximation sera appelée interpolation affine composite). Nous nous demandons si, à partir
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010
Approximation de fonctions et de données
Approcher une fonction f consiste à la remplacer par une autre fonction
˜
f dont la forme est plus simple et dont on peut se servir à la place de
f. On verra dans le prochain chapitre qu’on utilise fréquemment cette
stratégie en intégration numérique quand, au lieu de calculer
b
a
f(x)dx,
on calcule de manière exacte
b
a
˜
f (x)dx, où ˜
f est une fonction simple
à intégrer (p.ex. polynomiale). Dans d’autres contextes, la fonction f
peut n’être connue que par les valeurs qu’elle prend en quelques points
particuliers. Dans ce cas, on cherche à construire une fonction continue
˜
f représentant une loi empirique qui se cacherait derrière les données.
Commençons par quelques exemples qui illustrent ce type d’approche.
3.1 Quelques problèmes types
Problème 3.1 (Climatologie) La température moyenne de l’air au
voisinage du sol dépend de la concentration K en acide carbonique
(H 2 CO 3 ). Dans la Table 3.1, on donne la variation δ K = θ K − θ ¯
K de
la température moyenne par rapport à une température de référence ¯
K
pour différentes latitudes et pour quatre valeurs de K. La quantité ¯
K est
la valeur de K mesurée en 1896 et normalisée à un. On peut construire
une fonction qui, sur la base des données disponibles, permet d’approcher la température moyenne à une latitude quelconque et pour d’autres
valeurs de K (voir Exemple 3.1).
Problème 3.2 (Finance) Sur la Figure 3.1, nous traçons les prix d’une
action à la bourse de Zürich pendant deux années. La courbe a été obtenue en joignant par une ligne droite les cotations quotidiennes à la
clôture. Cette simple représentation suppose implicitement que les prix
varient linéairement au cours de la journée (cette approximation sera appelée interpolation affine composite). Nous nous demandons si, à partir
Quarteroni, A., Saleri, F., Gervasio, P.: Calcul Scientifique
c
Springer-Verlag Italia 2010