2.8 Exercices
75
L
l1
l2
γ
α
Figure 2.11. Le problème d’une barre glissant dans un couloir
Exercice 2.10 Remarquer que la fonction f (x) = e
x − 2x
2 a trois zéros,
α1 < 0, α2 et α3 > 0. Pour quelles valeurs de x
(0) la méthode de Newton
converge-t-elle vers α1 ?
Exercice 2.11 Utiliser la méthode de Newton pour calculer le zéro de f (x) =
x
3 − 3x
2 2
−x + 3x4
−x − 8
−x dans [0, 1] et expliquer pourquoi la convergence
n’est pas quadratique.
Exercice 2.12 Un projectile, envoyé avec une vitesse v0 et un angle α dans
un tunnel de hauteur h, atteint son maximum quand α est tel que sin(α) =
2gh/v
2
0 , où g = 9.8 m/s
2 est l’accélération de la gravité. Calculer α en
utilisant la méthode de Newton, en supposant que v0 = 10 m/s et h = 1 m.
Exercice 2.13 (Fonds d’investissement) Résoudre le Problème 2.1 par la
méthode de Newton avec une tolérance de 10
−12 , en supposant que M = 6000
euros, v = 1000 euros et n = 5. Prendre comme donnée initiale le résultat
obtenu après 5 itérations de dichotomie sur l’intervalle ]0.01, 0.1[.
Exercice 2.14 Un couloir a la forme indiquée sur la Figure 2.11. La longueur
maximale L d’une barre qui peut passer d’une extrémité à l’autre en glissant
sur le sol est donnée par
L = l2/(sin(π − γ − α)) + l1/ sin(α),
où α est solution de l’équation non linéaire
l2
cos(π − γ − α)
sin
2 (π − γ − α)
− l1
cos(α)
sin
2 (α)
= 0.
(2.35)
Calculer α par la méthode de Newton pour l2 = 10, l1 = 8 et γ = 3π/5.
Exercice 2.15 Soit φN la fonction d’itération de la méthode de Newton vue
comme une méthode de point fixe. Montrer que φ
N (α) = 1 − 1/m où α est un
zéro de f de multiplicité m. En déduire que la méthode de Newton converge
quadratiquement si α est une racine simple de f (x) = 0, et linéairement sinon.
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L
l1
l2
γ
α
Figure 2.11. Le problème d’une barre glissant dans un couloir
Exercice 2.10 Remarquer que la fonction f (x) = e
x − 2x
2 a trois zéros,
α1 < 0, α2 et α3 > 0. Pour quelles valeurs de x
(0) la méthode de Newton
converge-t-elle vers α1 ?
Exercice 2.11 Utiliser la méthode de Newton pour calculer le zéro de f (x) =
x
3 − 3x
2 2
−x + 3x4
−x − 8
−x dans [0, 1] et expliquer pourquoi la convergence
n’est pas quadratique.
Exercice 2.12 Un projectile, envoyé avec une vitesse v0 et un angle α dans
un tunnel de hauteur h, atteint son maximum quand α est tel que sin(α) =
2gh/v
2
0 , où g = 9.8 m/s
2 est l’accélération de la gravité. Calculer α en
utilisant la méthode de Newton, en supposant que v0 = 10 m/s et h = 1 m.
Exercice 2.13 (Fonds d’investissement) Résoudre le Problème 2.1 par la
méthode de Newton avec une tolérance de 10
−12 , en supposant que M = 6000
euros, v = 1000 euros et n = 5. Prendre comme donnée initiale le résultat
obtenu après 5 itérations de dichotomie sur l’intervalle ]0.01, 0.1[.
Exercice 2.14 Un couloir a la forme indiquée sur la Figure 2.11. La longueur
maximale L d’une barre qui peut passer d’une extrémité à l’autre en glissant
sur le sol est donnée par
L = l2/(sin(π − γ − α)) + l1/ sin(α),
où α est solution de l’équation non linéaire
l2
cos(π − γ − α)
sin
2 (π − γ − α)
− l1
cos(α)
sin
2 (α)
= 0.
(2.35)
Calculer α par la méthode de Newton pour l2 = 10, l1 = 8 et γ = 3π/5.
Exercice 2.15 Soit φN la fonction d’itération de la méthode de Newton vue
comme une méthode de point fixe. Montrer que φ
N (α) = 1 − 1/m où α est un
zéro de f de multiplicité m. En déduire que la méthode de Newton converge
quadratiquement si α est une racine simple de f (x) = 0, et linéairement sinon.