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2 Equations non linéaires
2.8 Exercices
Exercice 2.1 Soit la fonction f (x) = cosh x+cos x−γ. Pour γ = 1, 2, 3, trouver un intervalle qui contient le zéro de f . Calculer ce dernier par la méthode
de dichotomie avec une tolérance de 10
−10 .
Exercice 2.2 (Equation d’état d’un gaz) Pour CO2 (dioxyde de carbone)
les coefficients a et b dans (2.1) prennent les valeurs suivantes : a = 0.401Pa
m
6 , b = 42.7 · 10
−6 m
3 (Pa signifie Pascal). Trouver le volume occupé par 1000
molécules de CO2 à la température T = 300K et la pression p = 3.5 · 10
7 Pa
par la méthode de dichotomie, avec une tolérance de 10
−12 (la constante de
Boltzmann vaut k = 1.3806503 · 10
−23 Joule K
−1 ).
Exercice 2.3 Un solide ponctuel, au repos à t = 0, est placé sur un plan dont
la pente varie avec une vitesse constante ω. A un temps t > 0, sa position est
donnée par
s(t, ω) =
g
2ω 2 [sinh(ωt) − sin(ωt)],
où g = 9.8 m/s
2 désigne l’accélération de la gravité. En supposant que cet
objet s’est déplacé d’un mètre en une seconde, calculer la valeur de ω avec une
tolérance de 10
−5 .
Exercice 2.4 Montrer l’inégalité (2.6).
Exercice 2.5 Dans le Programme 2.1, expliquer pourquoi on a déterminé le
point milieu avec la formule x(2) = x(1)+(x(3)- x(1))*0.5 plutôt qu’avec
la formule plus naturelle x(2)=(x(1)+x(3))*0.5.
Exercice 2.6 Utiliser la méthode de Newton pour résoudre l’Exercice 2.1.
Pourquoi cette méthode n’est-elle pas précise quand γ = 2 ?
Exercice 2.7 Utiliser la méthode de Newton pour calculer la racine carrée
d’un nombre positif a. Procéder de manière analogue pour calculer la racine
cubique de a.
Exercice 2.8 En supposant que la méthode de Newton converge, montrer
que (2.9) est vraie quand α est une racine simple de f (x) = 0 et f est deux
fois continûment différentiable dans un voisinage de α.
Exercice 2.9 (Statique) Utiliser la méthode de Newton pour résoudre le
Problème 2.3 pour β ∈ [0, 2π/3] avec une tolérance de 10
−5 . Supposer que les
longueurs des barres sont a1 = 10 cm, a2 = 13 cm, a3 = 8 cm et a4 = 10
cm. Pour chaque valeur de β, considérer deux valeurs initiales, x
(0) = −0.1 et
x
(0) = 2π/3.
2 Equations non linéaires
2.8 Exercices
Exercice 2.1 Soit la fonction f (x) = cosh x+cos x−γ. Pour γ = 1, 2, 3, trouver un intervalle qui contient le zéro de f . Calculer ce dernier par la méthode
de dichotomie avec une tolérance de 10
−10 .
Exercice 2.2 (Equation d’état d’un gaz) Pour CO2 (dioxyde de carbone)
les coefficients a et b dans (2.1) prennent les valeurs suivantes : a = 0.401Pa
m
6 , b = 42.7 · 10
−6 m
3 (Pa signifie Pascal). Trouver le volume occupé par 1000
molécules de CO2 à la température T = 300K et la pression p = 3.5 · 10
7 Pa
par la méthode de dichotomie, avec une tolérance de 10
−12 (la constante de
Boltzmann vaut k = 1.3806503 · 10
−23 Joule K
−1 ).
Exercice 2.3 Un solide ponctuel, au repos à t = 0, est placé sur un plan dont
la pente varie avec une vitesse constante ω. A un temps t > 0, sa position est
donnée par
s(t, ω) =
g
2ω 2 [sinh(ωt) − sin(ωt)],
où g = 9.8 m/s
2 désigne l’accélération de la gravité. En supposant que cet
objet s’est déplacé d’un mètre en une seconde, calculer la valeur de ω avec une
tolérance de 10
−5 .
Exercice 2.4 Montrer l’inégalité (2.6).
Exercice 2.5 Dans le Programme 2.1, expliquer pourquoi on a déterminé le
point milieu avec la formule x(2) = x(1)+(x(3)- x(1))*0.5 plutôt qu’avec
la formule plus naturelle x(2)=(x(1)+x(3))*0.5.
Exercice 2.6 Utiliser la méthode de Newton pour résoudre l’Exercice 2.1.
Pourquoi cette méthode n’est-elle pas précise quand γ = 2 ?
Exercice 2.7 Utiliser la méthode de Newton pour calculer la racine carrée
d’un nombre positif a. Procéder de manière analogue pour calculer la racine
cubique de a.
Exercice 2.8 En supposant que la méthode de Newton converge, montrer
que (2.9) est vraie quand α est une racine simple de f (x) = 0 et f est deux
fois continûment différentiable dans un voisinage de α.
Exercice 2.9 (Statique) Utiliser la méthode de Newton pour résoudre le
Problème 2.3 pour β ∈ [0, 2π/3] avec une tolérance de 10
−5 . Supposer que les
longueurs des barres sont a1 = 10 cm, a2 = 13 cm, a3 = 8 cm et a4 = 10
cm. Pour chaque valeur de β, considérer deux valeurs initiales, x
(0) = −0.1 et
x
(0) = 2π/3.