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2 Equations non linéaires
Théorème 2.1 (théorème d’Ostrowski) Soit α un point fixe
d’une fonction φ continue et continûment différentiable dans un certain voisinage J de α. Si |φ
(α)| < 1, alors il existe δ > 0 pour lequel
{x
(k)
} converge vers α, pour tout x
(0) tel que |x
(0)
−α| < δ. De plus,
on a
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
x (k) − α
= φ
(α)
(2.21)
Preuve. Nous nous contentons de vérifier la propriété (2.21). Grâce au
théorème des accroissements finis, pour tout k ≥ 0, il existe un point ξ k
entre x
(k) et α tel que x
(k+1)
− α = φ(x
(k) ) − φ(α) = φ
(ξ k )(x
(k)
− α),
c’est-à-dire
(x
(k+1)
− α)/(x
(k)
− α) = φ
(ξ k ).
(2.22)
Comme x
(k)
→ α et ξ k se trouve entre x
(k) et α, on a lim k→∞ ξ k =
α. Enfin, en passant à la limite dans les deux termes de (2.22) et en
rappelant que φ
est continue dans un voisinage de α, on obtient (2.21).
.
On déduit de (2.20) et (2.21) que les itérations de point fixe convergent
au moins linéairement : pour k assez grand l’erreur à l’étape k + 1 est
de l’ordre de l’erreur à l’étape k multipliée par une constante (L dans
(2.20) ou φ
(α) dans (2.21)) indépendante de k et strictement plus petite
que 1 en valeur absolue. Cette constante s’appelle coefficient de convergence asymptotique. Remarquons que plus le coefficient de convergence
asymptotique est petit, plus rapide est la convergence.
Remarque 2.1 Quand |φ
(α)| > 1, on déduit de (2.22) que si x
(k) est assez
proche de α, tel que |φ
(x
(k) )| > 1, alors |α − x
(k+1) | > |α − x
(k) |, et la suite
ne peut pas converger vers le point fixe. Au contraire, quand |φ
(α)| = 1, on
ne peut rien conclure : la suite peut converger ou diverger, selon les propriétés
de la fonction φ(x).
Exemple 2.6 La fonction φ(x) = cos(x) vérifie toutes les hypothèses du
Théorème 2.1. En effet, |φ
(α)| = | sin(α)| | 0.67 < 1, donc il existe par
continuité un voisinage Iα de α tel que |φ
(x)| < 1 pour x ∈ Iα. La fonction
φ(x) = x
2 − 1 possède deux points fixes α± = (1 ±
√
5)/2 mais ne vérifie
l’hypothèse pour aucun d’eux puisque |φ
(α±)| = |1 ±
√
5| > 1. Les itérations
de point fixe ne convergent d’ailleurs pas.
Exemple 2.7 (Dynamique des populations) Appliquons la méthode de
point fixe à la fonction φV (x) = rx/(1 + xK) du modèle de Verhulst (2.3) et à
la fonction φP (x) = rx
2 /(1 + (x/K)
2 ) du modèle prédateurs-proies (2.4) avec
r = 3 et K = 1. En partant de x
(0) = 1, on trouve le point fixe α = 2 dans
le premier cas et α = 2.6180 dans le second cas (voir Figure 2.9). On peut
2 Equations non linéaires
Théorème 2.1 (théorème d’Ostrowski) Soit α un point fixe
d’une fonction φ continue et continûment différentiable dans un certain voisinage J de α. Si |φ
(α)| < 1, alors il existe δ > 0 pour lequel
{x
(k)
} converge vers α, pour tout x
(0) tel que |x
(0)
−α| < δ. De plus,
on a
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
x (k) − α
= φ
(α)
(2.21)
Preuve. Nous nous contentons de vérifier la propriété (2.21). Grâce au
théorème des accroissements finis, pour tout k ≥ 0, il existe un point ξ k
entre x
(k) et α tel que x
(k+1)
− α = φ(x
(k) ) − φ(α) = φ
(ξ k )(x
(k)
− α),
c’est-à-dire
(x
(k+1)
− α)/(x
(k)
− α) = φ
(ξ k ).
(2.22)
Comme x
(k)
→ α et ξ k se trouve entre x
(k) et α, on a lim k→∞ ξ k =
α. Enfin, en passant à la limite dans les deux termes de (2.22) et en
rappelant que φ
est continue dans un voisinage de α, on obtient (2.21).
.
On déduit de (2.20) et (2.21) que les itérations de point fixe convergent
au moins linéairement : pour k assez grand l’erreur à l’étape k + 1 est
de l’ordre de l’erreur à l’étape k multipliée par une constante (L dans
(2.20) ou φ
(α) dans (2.21)) indépendante de k et strictement plus petite
que 1 en valeur absolue. Cette constante s’appelle coefficient de convergence asymptotique. Remarquons que plus le coefficient de convergence
asymptotique est petit, plus rapide est la convergence.
Remarque 2.1 Quand |φ
(α)| > 1, on déduit de (2.22) que si x
(k) est assez
proche de α, tel que |φ
(x
(k) )| > 1, alors |α − x
(k+1) | > |α − x
(k) |, et la suite
ne peut pas converger vers le point fixe. Au contraire, quand |φ
(α)| = 1, on
ne peut rien conclure : la suite peut converger ou diverger, selon les propriétés
de la fonction φ(x).
Exemple 2.6 La fonction φ(x) = cos(x) vérifie toutes les hypothèses du
Théorème 2.1. En effet, |φ
(α)| = | sin(α)| | 0.67 < 1, donc il existe par
continuité un voisinage Iα de α tel que |φ
(x)| < 1 pour x ∈ Iα. La fonction
φ(x) = x
2 − 1 possède deux points fixes α± = (1 ±
√
5)/2 mais ne vérifie
l’hypothèse pour aucun d’eux puisque |φ
(α±)| = |1 ±
√
5| > 1. Les itérations
de point fixe ne convergent d’ailleurs pas.
Exemple 2.7 (Dynamique des populations) Appliquons la méthode de
point fixe à la fonction φV (x) = rx/(1 + xK) du modèle de Verhulst (2.3) et à
la fonction φP (x) = rx
2 /(1 + (x/K)
2 ) du modèle prédateurs-proies (2.4) avec
r = 3 et K = 1. En partant de x
(0) = 1, on trouve le point fixe α = 2 dans
le premier cas et α = 2.6180 dans le second cas (voir Figure 2.9). On peut