2.4 Méthode de point fixe
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Figure 2.9. Deux points fixes pour deux dynamiques de populations : le modèle de Verhulst (trait plein) et le modèle prédateurs-proies (trait discontinu)
calculer le point fixe α = 0, commun à φV et φP , par des itérations de point
fixe pour φP mais pour φV . En effet φ
P (α) = 0, tandis que φ
V (α) = r > 1.
Le troisième point fixe α = 0.3820 . . . de φP ne peut pas être calculé avec des
itérations de point fixe car φ
P (α) > 1.
La méthode de Newton n’est pas la seule méthode itérative ayant une
convergence quadratique. On a en effet la propriété générale suivante :
Proposition 2.2 Supposons satisfaites toutes les hypothèses du
Théorème 2.1. Supposons de plus que φ est deux fois continûment
différentiable et que
φ
(α) = 0, φ
(α) = 0.
Alors les itérations de point fixe (2.17) ont une convergence quadratique et
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
(x (k) − α) 2 =
1
2
φ
(α)
(2.23)
Preuve. Dans ce cas, il suffit de montrer qu’il existe un point η
(k) se
trouvant entre x
(k) et α tel que
x
(k+1)
− α = φ(x
(k) ) − φ(α) = φ
(α)(x
(k)
− α) +
φ
(η
(k) )
2
(x
(k)
− α)
2 .
L’Exemple 2.5 montre qu’on peut également utiliser les itérations
de point fixe (2.17) pour calculer les zéros de la fonction f. Pour une
fonction f donnée, la fonction φ définie par (2.18) n’est clairement pas la
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Figure 2.9. Deux points fixes pour deux dynamiques de populations : le modèle de Verhulst (trait plein) et le modèle prédateurs-proies (trait discontinu)
calculer le point fixe α = 0, commun à φV et φP , par des itérations de point
fixe pour φP mais pour φV . En effet φ
P (α) = 0, tandis que φ
V (α) = r > 1.
Le troisième point fixe α = 0.3820 . . . de φP ne peut pas être calculé avec des
itérations de point fixe car φ
P (α) > 1.
La méthode de Newton n’est pas la seule méthode itérative ayant une
convergence quadratique. On a en effet la propriété générale suivante :
Proposition 2.2 Supposons satisfaites toutes les hypothèses du
Théorème 2.1. Supposons de plus que φ est deux fois continûment
différentiable et que
φ
(α) = 0, φ
(α) = 0.
Alors les itérations de point fixe (2.17) ont une convergence quadratique et
lim
k→∞
x
(k+1)
− α
(x (k) − α) 2 =
1
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φ
(α)
(2.23)
Preuve. Dans ce cas, il suffit de montrer qu’il existe un point η
(k) se
trouvant entre x
(k) et α tel que
x
(k+1)
− α = φ(x
(k) ) − φ(α) = φ
(α)(x
(k)
− α) +
φ
(η
(k) )
2
(x
(k)
− α)
2 .
L’Exemple 2.5 montre qu’on peut également utiliser les itérations
de point fixe (2.17) pour calculer les zéros de la fonction f. Pour une
fonction f donnée, la fonction φ définie par (2.18) n’est clairement pas la